IMO2007/5

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Simo_the_wolf
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IMO2007/5

Messaggio da Simo_the_wolf » 28 lug 2007, 12:09

Siano $ a,b $ interi positivi tali che $ 4ab-1 | (4a^2-1)^2 $. Dimostrare che $ a=b $.

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 19 ago 2007, 18:59

Ciao ragà, sono nuovo da queste parti!

In questo momento mi viene solo questo:
$ a(4ab-1)-b(4a^{2}-1)=(b-a) $
$ ((4ab),(4a^{2}-1))|(b-a) $\rightarrow$ ((4ab-1)^{2}, (4a^{2}-1)^{2})|(b-a)^{2} $
Avete qualke idea su come continuare?
Ultima modifica di mod_2 il 21 ago 2007, 15:34, modificato 1 volta in totale.

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mattilgale
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Messaggio da mattilgale » 21 ago 2007, 15:17

:twisted:
"la matematica è il linguaggio con cui Dio ha plasmato l'universo"

Galileo Galilei

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 21 ago 2007, 15:37

...e quale sarebbe...
a me viene idea di considerare due casi
a>b e a<b
andando poi a negare le due affermazioni
ma nn so poi come procedere...
potresti postare la dimostrazione xke sn molto interessato a come dimostrarlo...
:)

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salva90
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Messaggio da salva90 » 27 ago 2007, 13:23

Se $ ab-1|(4a^2-1)^2 $ allora $ 4ab-1|b^2(4a^2-1)^2=16a^4b^2-8a^2b^2+b^2 $.
Del resto si ha $ 16a^4b^2=(4ab-1)4a^3b+4a^3b=(4ab-1)4a^3b+(4ab-1)a^2+a^2 $, perciò dev'essere $ 4ab-1|a^2-8a^2b^2+b^2 $
Ma $ -8a^2b^2=-(4ab-1)2ab-2ab $ da cui si ricava che $ 4ab-1|a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $

Ora, si ha $ \displaystyle\frac{(a-b)2}{4ab-1}=k $ da cui si ricava l'equazione $ a^2-2b(2k+1)a+b^2-k=0 $.
Essendo simmetrica, se (a, b) è soluzione lo è anche (b, a). Pertanto wlog a>b. Sia (a, b) una soluzione con b minimo.
Sostituendo nell'equazione non è difficile verificare che anche $ \left(b,~ \frac{b^2+k}{a}\right) $ è soluzione, inoltre si verifica a mano che $ \frac{b^2+k}{a} $ è intero e minore di b [quest'ultima cosa la si vede impostando una disuguaglianza e rimaneggiandola fino a ottenere cosa vera*]. Da qui la contraddizione. Deve quindi essere a=b.


*piva mi fa notare che c'è chi ha perso punti scrivendo qualcosa di simile. beh... supponiamo che ciò sia falso. allora abbiamo $ k\ge ab-b^2 $ che rimaneggiato opportunatamente diventa $ a-b\ge 4b^2(a-b) $ ossia $ 4b^2\le 1 $, assurdo.
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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 27 ago 2007, 13:53

evvai...finalmente la dimostrazione...
Appassionatamente BTA 197!

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Gufus
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Messaggio da Gufus » 09 ott 2007, 20:17

mmm... :?
forse sbaglio ma...

se $ 4ab-1 $ divide $ (4a^2-1)^2 $ allora $ 4ab-1 $ deve essere un divisore della cosa che sta a numeratore e che è scomponibile cosi':
$ (2a-1)(2a+1)(2a-1)(2a+1) $ quindi si compara $ 4ab-1 $ a tutti i possibili divisori e si ottiene sempre che a e b devono essere uguali oppure possono essere entrambi zero quando un fattore del numeratore non è divsibile per 4ab-1.
Esempio: uguagliando 2a+1 a 4ab-1 si ottiene alla fine che a=b=1, mentre ponendo 2a-1=4ab-1 si ha alla fine che b=0 ma anche a poteva essere 0.
Probabilmente avrò commesso qualche errore abbastanza enorme...comunque potrebbe andare come idea alternativa a quelle sopra??

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edriv
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Messaggio da edriv » 09 ott 2007, 20:22

Perchè mai 4ab-1 dovrebbe essere uguale a uno di quei quattro fattori?
Potrebbe essere un divisore di uno di quei quattro fattori, o meglio, avere qualche pezzetto all'interno di un fattore e qualche altro all'interno di un altro.
$ ~ \mbox{fattorizzazioni algebriche} \neq \mbox{fattorizzazioni degli interi} $

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Gufus
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Messaggio da Gufus » 09 ott 2007, 20:33

Grazie Edriv :D
errore stupidillimo...

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