somme diverse da zero

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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ummagumma
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somme diverse da zero

Messaggio da ummagumma » 28 lug 2007, 09:46

Dati n numeri reali A1,...,An tali che la somma A1+..+An sia diversa da 0, si dimostri che per ogni intero positivo h<=n si possono scegliere h numeri fra quelli assegnati, in modo che la loro somma A1+...+Ah sia diversa da 0.

Provo una soluzione che non mi convince:
Suppongo che A1+...+An>0
1) la th vale per h=1 poichè esiste almeno un numero maggiore di zero;
la th vale per h=2 perchè esiste almeno una coppia A1,A2:la loro somma
è >0;

2) suppongo che la th valga per h-1, ovvero:
A1+...+A(h-1)>0
In questa somma non sono inclusi n-h+1 termini, per cui, poichè la th è vera per h=n dall'Hp, considero h<n, ci saranno almeno 2 termini esclusi dalla somma

3) Considero A1+...+A(h-1)+Ah.
Sostituisco ad Ah uno degli almeno 2 termini esclusi dalla somma 2):
Poichè la somma degli n termini è>0, posso individuare uno tra gli almeno 2 termini esclusi, ad esempio Ak, tale che:
A1+...A(h-1)+Ak>0
Infatti, la somma dei termini "esclusi", gli n-h+1, sommata alla somma 2) restituisce la somma degli n termini, per Hp >0.

è dunque provato per per ogni h, posso sceglieri h numeri tra gli n, tali che la loro somma sia maggiore di 0.
Si procede analogamente per il caso A1+...An<0

dite la vostra e controllate la mia.
mi scuso per il non latex :)

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 28 lug 2007, 14:42

Un modo semplice per farlo è questo. Supponi per assurdo che per ogni scelta di h interi tra questi la somma faccia 0. Considera per ogni scelta di h interi l'uguaglianza
$ A_{i_1}+ \cdots + A_{i_h}=0 $
Sommando queste uguaglianze si ottiene
$ \binom{h-1}{n-1}(A_1 + \cdots + A_n) = 0, $ assurdo.

PS Nella tua soluzione non capisco il punto 3), quando dici "Infatti..."
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ummagumma
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Messaggio da ummagumma » 28 lug 2007, 16:11

nel senso ke posso scegliere un Ak tale che sommato a A1+...A(h-1) dà un numero positivo. Infatti :D posto che A1+...A(h-1) è positivo, allora tra gli n-h+1 numeri che nn compaiono nella somma ce n'è sicuramente 1 tale che nn cambia la positività della somma. Cmq la tua mi sembra immediata, ma nn dovrebbe essere (h su n) semplicemente? :?:

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 28 lug 2007, 16:25

Ah ok, mi sembra che funzioni. :) Il binomiale credo sia giusto, ho contato quante volte compare un fissato termine, ad esempio A_1, in una di quelle sommatorie. Mi restano da scegliere h-1 addendi tra n-1.
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Reese
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Messaggio da Reese » 28 lug 2007, 20:31

Per amor di logica, nonno bassotto, tu hai dimostrato che esiste un h per cui vale quella roba, non che vale per tutti gli $ h \le n $.
Why would anybody want empathy?

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ummagumma
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Messaggio da ummagumma » 28 lug 2007, 20:44

in effetti si..neghi che tutti siano zero ma nn escludi che qualche somma lo sia...però la mia dim. mi sembra farraginosa..nn so...la th è evidente ma è di difficile formalizzazione

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Messaggio da Nonno Bassotto » 29 lug 2007, 02:58

Reese ha scritto:Per amor di logica, nonno bassotto, tu hai dimostrato che esiste un h per cui vale quella roba, non che vale per tutti gli $ h \le n $.
No no. Fissa un qualsiasi h a piacere e fai tutte le possibili somme di h addendi. Che esista un h<=n è ovvio,ad esempio h=1 o h=n.
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