Sommatoria e funzione phi di Eulero

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Spider
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Sommatoria e funzione phi di Eulero

Messaggio da Spider » 28 lug 2007, 00:56

Dimostrare che, per ogni naturale $ n>1 $:

$ \sum a = \frac{1}{2}n\varphi(n) $

dove la somma si intende estesa a tutti gli interi $ a $ relativamente primi con $ n $ e minori di $ n $.

Mi scuso nel caso il problema sia già stato trattato su questo forum.

Saluti,
Spider

EDIT: errorino, grazie jordan
Ultima modifica di Spider il 28 lug 2007, 01:09, modificato 1 volta in totale.

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jordan
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Messaggio da jordan » 28 lug 2007, 01:08

guarda, è facile..
ti scrivi n (e non m!!!) come produttoria di p i alla alfa i (non so usare latex scusate). phi di n la sai trovare. e la somma dei divisori di n anche (cioe la produttoria di p alla (alfa+1) -1 tutto fratto produttoria di p-1). in questa somma è incluso anche 1 che quindi devi togliere. la somma che cerchi è quindi n-(somma divisori)+1. a questo punto devi solo sostituire, identità algebrica..

ciao ciao good night

Spider
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Messaggio da Spider » 28 lug 2007, 01:23

In realtà non ho capito che c'entra la somma dei divisori, ma, vista l'ora, è probabile che sia colpa mia... :wink:

Spider

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jordan
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Messaggio da jordan » 28 lug 2007, 15:20

si hai ragione infatti a quell'ora non li ho fatti i conti...
quando li faccio ti faccio sapere

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Messaggio da enomis_costa88 » 29 lug 2007, 21:50

Induzione sul numero di fattori primi.
Nel passo base si scrive la somma dei numeri fino a p^k si tolgono i multipli di p si butta dentro al testo e si ottiene un'identità :P

Sia $ f(n)=\frac{1}{2}n\varphi(n) $
voglio dimostrare che: $ f(n p^k)=f(n)(p^{2k}-p^{2k-1}) $

Lemmino: La somma dei numeri coprimi con n da 1 a $ p^kn $ è $ f(n)p^{2k} $

Considero ciascun intervallo (kn,(k+1)n] la somma dei numeri coprimi con n in esso sarà $ f(n)+\varphi(n)kn $
ovvero sarà uguale alla somma nel primo intervallo ma in cui ciascun numero coprimo con n è stato "alzato di kn".

Scrivendo la somma su tutti quegli intervallini ottengo quindi:
$ f(n)+\dots +(f(n)+\varphi(n)(p^k-1)n)= $$ n p^kf(n)+\frac{1}{2}n\varphi(n)p^k(p^k-1) $$ =f(n)p^{2k} $
Dove nell'ultima uguaglianza ho usato l'ipotesi induttiva.

Io voglio sapere quanto è la somma dei numeri coprimi con e minori di $ np^k $.
Questa somma sarà data dai numeri coprimi con n e minori di $ np^k $ a cui tolgo i numeri multipli di p coprimi con n (e minori di $ np^k $).
La somma dei multipli di p coprimi con n in quell'intervallo sarà la somma dei numeri coprimi con n più piccoli di $ np^{k-1} $ moltiplicata per p.
Infatti ho diviso per p ciascun numero e moltiplicato per p la somma.
Quindi per il lemmino ottengo:
$ f(np^k)=f(n)(p^{2k}-p^{2k-1}) $ da cui la tesi.
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Messaggio da Spider » 30 lug 2007, 01:07

Ok, enomis, anche se hai dimenticato di scrivere che stai supponendo che $ p $ non divide $ n $ in tutto il testo. Io avevo impostato l'induzione in questo modo:

1) La tesi è vera per ogni primo
2) Se la tesi è vera per $ n $ e $ p $ è un primo, allora è vera per $ pn $

che forse viene un pelo più lungo perché nella seconda parte si deve distinguere se $ p | n $ o no.


PS: per la prima volta mi sono accorto che il tuo nick si può leggere al contrario! :P

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Messaggio da Sisifo » 30 lug 2007, 08:09

Beh mi pare ci sia una soluzione piu' semplice.. Se a e' primo con n allora lo e' anche n-a. Quindi possiamo "accopiare" i numeri primi con n per fare coppie che fanno somma n (non ne esistono di spaiati, perche', essendo n>2, palesemente n/2 non e' primo con n, se intero). Il numero di queste coppie e' ovviamente $ \frac{\phi (n)}{2} $, quindi la somma e' $ \frac{n \phi (n)}{2} $


NOTA: questo dimostra anche che $ \phi (n) $ e' pari per tutti gli n maggiori di due
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Messaggio da Spider » 30 lug 2007, 09:53

Anche questo è vero :lol:
In effetti avevo scritto anche perché speravo qualcuno trovasse una soluzione più semplice della mia 8)

Spider

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Messaggio da enomis_costa88 » 30 lug 2007, 13:50

Davvero phiga la soluzione di denis!!!

Hum..ci sono persone che se ne sono accorte dopo anni e solo dopo che mi hanno conosciuto..vero piccolo bambino sperduto che vagava per vaste aule di università, nostro leo cosa pensavi volesse dire il mio nick?
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Messaggio da Spider » 30 lug 2007, 17:20

enomis_costa88 ha scritto:..vero piccolo bambino sperduto che vagava per vaste aule di università, nostro leo
...eh??
cosa pensavi volesse dire il mio nick?
La maggior parte dei nick li accetto senza interrogarmi troppo sulla loro natura...

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Messaggio da Sherlock » 30 lug 2007, 17:59

enomis_costa88 ha scritto: Hum..ci sono persone che se ne sono accorte dopo anni e solo dopo che mi hanno conosciuto
Io scommetto che non ci sarei mai arrivato :? :? :?
Spider ha scritto:
enomis_costa88 ha scritto:..vero piccolo bambino sperduto che vagava per vaste aule di università, nostro leo
...eh??



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Messaggio da enomis_costa88 » 30 lug 2007, 22:12

Era un OT riferito a questo losco figuro quà :wink:
viewtopic.php?p=73126#73126
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"

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Messaggio da post233 » 30 lug 2007, 22:45

Beh, diciamo che all'inizio ero convinto il suo nick fosse enormis_costa.
Poi ci siamo incontrati e mi sono detto: "Mmm... forse no."
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Messaggio da salva90 » 31 lug 2007, 08:26

post233 ha scritto:Beh, diciamo che all'inizio ero convinto il suo nick fosse enormis_costa.
Poi ci siamo incontrati e mi sono detto: "Mmm... forse no."
dicono che tu abbia inventato la formula
$ H_e\cdot N_p\rightarrow e $
dove $ ~H_e $è l'altezza di enomis e $ ~N_p $... be... indovinate :lol:
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]

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