Polinomi e coprimi

[moebius]

Spernado che sia vero....
Sia p (X) un polinomio a coefficienti interi. Mostrare che l'insieme $ \left\{p^n (c)\right\}_{n\in \mathbb{N}} $ è formato da interi relativamente primi $ \forall c\in \mathbb{Z} $ se e solo se $ \forall k\in \mathbb{N}\backslash \left\{0\right\} $, $ p^k (0) = \pm 1 $.

[albert_K]

Scusa cosa intendi esattamente con l'insieme $ \displaystyle \left\{p_n (c)\right\}_{n\in \mathbb{N}} $ ??

[moebius]

Intendo che ho sbagliato un apice con un pedice, adesso è corretto

[albert_K]

Ma l'insieme $ $ \left\{p^n (c)\right\}_{n\in \mathbb{N}} $ è composto da potenze di$ $ p(c) $ ..... come fanno a essere elementi relativamente primi?

[moebius]

Ammetto l'ambiguità della notazione, ma credevo fosse chiaro... Ovviamente l'essere chiaro è un problema NP
Comunque per $ p^n\left(c\right):=p(p(p(p(....p(c)....))) $ n volte.

[Leblanc]

Ma l'insieme $ $ \left\{p^n (c)\right\}_{n\in \mathbb{N}} $ è composto da potenze di$ $ p(c) $ ..... come fanno a essere elementi relativamente primi?

Si intende di iterare il polinomio, non di fare la potenza. Per esempio, secondo la sua notazione, $ p^2(x)=p(p(x)) $

[edriv]

Però dai bel problema... perchè nessuno lo risolve?

Lemma: siano n,a,b interi, P un polinomio a coefficienti interi.
Allora se $ \displaystyle a \equiv b \pmod n $ allora $ \displaystyle P(a) \equiv P(b) \pmod n $.
Dimostrazione: la relazione di congruenza passa attraverso il prodotto e la somma, e quindi per induzione passa attraverso i polinomi.

Supponiamo ora $ \displaystyle |p^k(0)| = 1 $ per ogni k. Sia c un intero, n,m interi positivi e q un primo che divide $ \displaystyle p^n(c) $. Allora $ \displaystyle p^n(c) \equiv 0 \pmod q $, quindi $ \displaystyle p^{m+n}(c) \equiv p^m(0) \equiv \pm 1 \pmod q $, quindi q non divide $ \displaystyle p^{m+n}(c) $, quindi $ \displaystyle p^n(c), p^{m+n}(c) $ e una freccia è dimostrata.

Supponiamo esista un primo q e un k positivo tale che $ \displaystyle q \mid p^k(0) $, quindi $ \displaystyle p^k(0) \equiv 0 \pmod q $, quindi $ \displaystyle p^{k+k}(0) \equiv p^k(0) \equiv 0 \pmod q $, quindi q divide $ \displaystyle p^k(0), p^{2k}(0) $ che non sono coprimi.