(n-1)^2|n^(n-1)-1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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fede90
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(n-1)^2|n^(n-1)-1

Messaggio da fede90 » 02 lug 2007, 11:35

Provare che per ogni $ $n$ $ naturale $ $\geq 1$ $

$ \[(n-1)^2 | n^{n-1}-1\] $

Sepp
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Messaggio da Sepp » 02 lug 2007, 12:10

$ (n - 1)^2 \mid (n - 1)(n^{n-2} + ... + n + 1) \Longleftrightarrow $
$ n - 1 \mid n^{n-2} + ... + n + 1 \Longleftrightarrow $
$ n - 1 \mid (n^{n-2} - 1) + ... + (n - 1) + 1 + (n - 2) $

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edriv
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Messaggio da edriv » 02 lug 2007, 12:25

O anche, posto n-1 ---> n, basta dimostrare che:
$ ~ n^2 \mid (n+1)^n - 1 $
che è vera perchè sviluppiamo il binomiale, basta che consideriamo gli ultimi 2 termini, ma uno è divisibile per n^2 perchè $ ~{ n \choose 1} = n $, l'altro si annulla con -1.

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