Esattamente due danno lo stesso residuo

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Sepp
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Esattamente due danno lo stesso residuo

Messaggio da Sepp » 14 giu 2007, 11:15

Trovare tutti gli interi nonnegativi $ a < 2007 $ tali che $ x^2 + a \equiv 0 \pmod {2007} $ ha esattamente due soluzioni intere nonnegative $ x < 2007 $.

EDIT: Austria 2007 :)
Ultima modifica di Sepp il 14 giu 2007, 13:30, modificato 1 volta in totale.

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Zoidberg
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Messaggio da Zoidberg » 14 giu 2007, 12:54

Dovrei studiare per la maturità, invece ho perso un sacco di tempo a pensarci senza cavare un ragno dal buco!! :evil: :evil:

pic88
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Messaggio da pic88 » 14 giu 2007, 13:30

Scusate l'idiozia, ma la risposta non è "tutti gli a= 2007 - residuo"?
Ogni residuo quadratico diverso da zero è residuo di un qualche $ {x} $, di $ {2007-x} $, e di nient'altro.

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FeddyStra
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Attenzione!

Messaggio da FeddyStra » 14 giu 2007, 13:41

pic88 ha scritto:Scusate l'idiozia, ma la risposta non è "tutti gli a= 2007 - residuo"?
Ogni residuo quadratico diverso da zero è residuo di un qualche $ {x} $, di $ {2007-x} $, e di nient'altro.
Attento: 2007 NON è primo.
Per esempio:
$ 0^2\equiv(3 \cdot 223)^2 \equiv (2 \cdot 3\cdot 223)^2 $ mod 2007.
{223, 892, 1561}
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

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Zoidberg
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Messaggio da Zoidberg » 18 giu 2007, 13:49

Qualcuno sarebbe cosi gentile da farmi vedere come si dimostra? :oops:

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Marco
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Messaggio da Marco » 19 giu 2007, 08:40

@FeddySta: credo che hai commesso un errore di segno...

@Zoidberg:

Conosci il Teorema Cinese? Smonti il problema modulo 2007 come un problema equivalente modulo ... e modulo ...; conti il numero di soluzioni al variare di a nei moduli piccoli; ogni coppia di soluzioni modulo ... e modulo ... si rimonta ad una unica soluzione modulo 2007; imponi che ci siano esattamente due soluzioni; questo ti dà le informazioni su a modulo ... e modulo ... e ti permette di risolvere.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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