\tau(p^2+11)=6

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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salva90
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\tau(p^2+11)=6

Messaggio da salva90 » 27 mag 2007, 09:57

Prometto che non posto più problemi dalla gara a premi di Parma :twisted:

allora, trovare tutti i primi p tali che
$ \tau (p^2+11)=6 $

dove $ \tau(\cdot) $ è la funzione numero di divisori positivi, as usual

livello easy-easy, astenersi esperti (e quindi anche Hit)
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giove
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Messaggio da giove » 27 mag 2007, 11:21

Siccome non mi considero esperto posto la soluzione :D
Se p \neq 2, 3 abbiamo che p^2 + 11 \equiv 0 \pmod {6}.
Siccome la condizione \tau = 6 significa che ci sono al massimo due primi distinti nella fattorizzazione, nel caso p \neq 2, 3 questi saranno proprio 2 e 3. Inoltre siccome entrambi saranno presenti, dovranno avere uno esponente 2 e l'altro esponente 1, perciò p^2 +11 \leq 18 \to p=2.
Quindi rimangono solo da considerare i casi p = 2, 3: nel primo si ha \tau = 4 mentre nel secondo \tau = 6.
Ultima modifica di giove il 27 mag 2007, 11:32, modificato 2 volte in totale.

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Messaggio da salva90 » 27 mag 2007, 11:23

Giovanni, mettilo in citazione almeno... un oro a cesenatico che fa questo esercizio spara sulla croce rossa
comunque p^2+11==0 mod 12, per la cronaca... [sse p>3]
Ultima modifica di salva90 il 27 mag 2007, 11:25, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da giove » 27 mag 2007, 11:25

Ops, ok, scusate :)

Uffa, non si può sbiancare il tex...

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Messaggio da salva90 » 27 mag 2007, 11:28

salva90 ha scritto:Giovanni, mettilo in citazione almeno... un oro a cesenatico che fa questo esercizio spara sulla croce rossa
comunque p^2+11==0 mod 12, per la cronaca... [sse p>3]
EDIT: magari disattiva pure il LateX
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MateCa
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Messaggio da MateCa » 27 mag 2007, 11:44

Solo un chiarimento: la funzione $ \tau(\cdot) $ considera come divisori anche 1 e il numero stesso?
Grazie, ciao! :D
Parlare oscuramente lo sa fare ognuno, ma chiaro pochissimi. (G. Galilei)

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Messaggio da HiTLeuLeR » 27 mag 2007, 12:17

salva90 ha scritto: allora, trovare tutti i primi p tali che $ \tau (p^2+11)=6 $, dove $ \tau(\cdot) $ è la funzione numero di divisori positivi, as usual
Siccome è troppo facile - l'hai detto tu! -, lo ravviviamo un poco. Della serie Generalizzare è fiko:

"Determinare ogni coppia $ (a,q) $ di interi positivi tali che $ q $ sia un primo e $ \tau(a^2 + q) = \frac{1}{2}(q+1) $."

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Messaggio da salva90 » 27 mag 2007, 20:33

MateCa ha scritto:Solo un chiarimento: la funzione $ \tau(\cdot) $ considera come divisori anche 1 e il numero stesso?
Grazie, ciao! :D
beh si, dopotutto sono divisori anche loro 8)
HiTLeuLeR ha scritto:Generalizzare è fiko:

"Determinare ogni coppia $ (a,q) $ di interi positivi tali che $ q $ sia un primo e $ \tau(a^2 + q) = \frac{1}{2}(q+1) $."
Sembra un problema bellino :lol: quindi vada per il rilancio


Se comunque qualcuno volesse risolvere il problema di partenza (senza leggere la soluzione di giove) è sempre ben accetto
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albert_K
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Messaggio da albert_K » 27 mag 2007, 21:32

Allora, dato per noto che $ $$ \tau (n) = (e_1 + 1)\cdots (e_k + 1) $ dove $ n = p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k} $ allora $ p^2 + 11 $ dev'essere del tipo $ p_1p_2^2 $ oppure $ p_1^5 $
Dopo aver notato che 2 non è soluzione, mentre 3 lo è ( 20 ha 6 divisori), si nota che $ p^2 \equiv 1 (mod 6), (mod 4) e , 11 \equiv -1 (mod 6), (mod 4) $ , perciò $ 12 | p^2 + 11 $ quindi non può essere nessuna delle due forme sopra descritte.

Spero sia giustooooo :)

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Messaggio da salva90 » 27 mag 2007, 21:36

Si albert, forse è un poco contorto il modo in cui lo spieghi ma si vede che hai capito :D
bravo :D

ed ora resta la generalizzazione di Hitty, chi avrà il coraggio?
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