Per ogni coppia di interi positivi $ a $ ed $ n $, con $ a \ge 2 $, è noto che esiste un qualche esponente intero $ q \ge 1 $ tale che $ n \mid \varphi(a^q - 1) $, dove $ \varphi(\cdot) $ è la funzione dei totienti di Eulero. Ha senso perciò definire $ \Phi_n(a) $ in termini del più piccolo intero positivo $ q $ che soddisfa alla condizione sopra indicata. Ebbene:
"Provare che, per ogni naturale $ k \ge 0 $, esistono almeno $ 2^k $ interi positivi $ n_1, n_2, \ldots, n_{2^k} $, a due a due distinti, tali che $ \Phi_{n_i}(2) = 2^{k+1} $, per ogni $ i=1, 2, \ldots, 2^k $."
Ma qualche minuto più tardi...
Posso fare di meglio - e anche voi potete! Dunque vi chiedo di...
"Provare che, per ogni naturale $ k \ge 0 $, esistono esattamente $ 2^k $ interi positivi $ n_1, n_2, \ldots, n_{2^k} $, a due a due distinti, tali che $ \Phi_{n_i}(2) = 2^{k+1} $, per ogni $ i=1, 2, \ldots, 2^k $."