Polacco: divisori bianchi e neri

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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pi_greco_quadro
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Polacco: divisori bianchi e neri

Messaggio da pi_greco_quadro » 30 apr 2007, 11:32

Diciamo che un numero intero positivo è bianco se vale 1 oppure se è prodotto di un numero pari di primi, non necessariamente distinti. In ogni altro caso il numero (sempre intero positivo) si dirà nero.

Si determini se può esistere un numero la cui somma di divisori bianchi è uguale alla somma di divisori neri
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Messaggio da Zok » 30 apr 2007, 15:44

Anche se mi sembra un pò orribile come soluzione, la posto comunque.

Non esistono n che soddisfino le condizioni date.

Il nostro problema chiedeva di trovare $ $ n $ tale che che $ $ S_w(n)=S_b(n) $, dove $ S_w(n) $ indica la somma dei divisori bianchi (white) di n e $ S_b(n) $ indica la somma dei divisori neri (black) di n.

Supponiamo per assurdo che esista, esso si può scrivere $ n=p_1p_2...p_m $ dove i $ $ p_i $ sono tutti primi (non necessariamente distinti).

Allora per come sono state definite le due somme avremo:

$ $ S_w(n)=1+\prod_{i\neq k}p_i p_k+...+ $ tutte le produttorie di p_i con un numero pari di fattori
$ $ S_b(n)=\sum_{i=1}^{m}p_i+\prod_{i\neq k, j\neq k, i\neq j}p_i p_k p_j+...+ $tutte le produttorie di p_i con un numero dispari di fattori

Uguagliando queste due simpatiche espressioni e portando in uno stesso membro tutti i termini che contengono ad esempio $ $ p_1 $, raccogliendolo avremo $ $ p_1\cdot \sigma(\frac{n}{p_1})= \sigma(\frac{n}{p_1}) $.
Da cui $ $ p_1=1 $ che non è accettabile visto che l'avevamo preso primo.

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pi_greco_quadro
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Messaggio da pi_greco_quadro » 30 apr 2007, 17:33

Scusa zok ma una cosa non mi torna... puoi farmi vedere come si esplica la tua dimostrazione nel caso $ n=p^{2\alpha} $?
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Messaggio da Zok » 30 apr 2007, 18:21

C'era un errore infatti. Le espressioni corrette di $ $ S_w(n) $ e $ $ S_b(n) $ sono:

$ $ S_w(n)=1+\sum p_i p_k + \sum p_i p_k p_l p_j...+ $tutte le produttorie di p_i con un numero pari di fattori
$ $ S_b(n)=\sum p_i+ \sum p_i p_k p_j+...+ $tutte le produttorie di p_i con un numero dispari di fattori

Il ragionamento di prima funziona però solo nel caso che le somme abbiano lo stesso numero di addendi...

Infatti nel caso $ $ n=p^{2\alpha} $, hai ragione, questo metodo non funziona.

Però si può completare il ragionamento di prima facendo quel caso:
Se $ S_b(p^{2\alpha})=S_w(p^{2\alpha}) $ allora $ $ \sum_{i=0}^{\alpha}p^{2i}=\sum_{i=0}^{\alpha-1}p^{2i+1} $ e quindi $ $ (p-1)(\sum_{i=1}^{2\alpha}(-1)^{i+1}p^{2\alpha-i})=-1 $. Assurdo.

Credo che poi questo si possa generalizzare per tutti i numeri la cui somme non hanno lo stesso numero di addendi...

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Re: Polacco: divisori bianchi e neri

Messaggio da HiTLeuLeR » 01 mag 2007, 14:13

pi_greco_quadro ha scritto:Diciamo che un numero intero positivo è bianco se vale 1 oppure se è prodotto di un numero pari di primi, non necessariamente distinti. In ogni altro caso il numero (sempre intero positivo) si dirà nero.

Si determini se può esistere un numero la cui somma di divisori bianchi è uguale alla somma di divisori neri
Ripetendo la notazione di Zok, siano $ S_w(n) $ ed $ S_b(n) $, risp., la somma dei divisori bianchi e la somma dei divisori neri di un generico $ n\in\mathbb{N}^+ $, ed $ s(n) = S_w(n) - S_b(n) $. Poiché il prodotto di due divisori entrambi bianchi o entrambi neri è un divisore bianco ed il prodotto di un divisore bianco per uno nero è un divisore nero, è immediato stabilire che, comunque scelti $ m, n \in \mathbb{N}^+ $, con $ \gcd(m,n) = 1 $, vale $ S_w(m \cdot n) = S_w(m) \cdot S_w(n) + S_b(m) \cdot S_b(n) $ ed $ S_b(m\cdot n) = S_w(m) \cdot S_b(n) + S_b(m) S_w(n) $. Di conseguenza, $ s(m \cdot n) = s(m) \cdot s(n) $, i.e. $ s(\cdot) $ è una funzione moltiplicativa. A questo p.to basta osservare che $ s(q^\alpha) \ne 0 $, per ogni $ \alpha \in \mathbb{N} $ ed ogni primo intero $ q \ge 2 $.

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Dio ha inventato i numeri interi. Tutto il resto è opera dell'uomo. ~ Leopold Kronecker

Una sera, di presso al tramonto, un'anziana signora, incontrata per Caso sui binari di una vecchia stazione in disuso, mi domandò se sapessi dove finisce il Cielo. Sconfitto, felice - risposi non so. Oggi non dimentico le sue ultime parole, liberate un attimo appena prima di partire, quando - con tutta la tenerezza ingenua di una vita - mi rivelò, come a susurrarmi il suo segreto, che il Cielo finisce nel cuore innamorato di Dio. ~ S

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