(a^2+b^2)/(ab+1)=q intero
Salva dice che ha una soluzione di 3 pagine molto incasinata, io metto questa molto + semplice che credo funzioni, aspetto critiche:
$ \displaystyle q=\frac{a^2 + b^2}{ab + 1} $
$ a^2 - abq + b^2 - q=0 $
$ \displaystyle a=\frac {bq \pm \sqrt {q^2b^2 - 4b^2 + 4q}}{2} $
poichè a è intero la radice o è uguale a zero o è un quadrato perfetto, nel primo caso tutti dovrebbero essere uguali a zero nel secondo si ha che i due monomi devono essere $ qb $ e $ 2 \sqrt {q} $ perchè gli unici due con segno positivo, ne consegue che il doppio prodotto debba essere $ 4qb \sqrt {q} $ quindi $ b=q^{\frac {3}{2}} $ sostituendo e risolvendo l'equazione abbiamo:
$ a=\sqrt {q} (q^2 - 1) $
$ a=\sqrt {q} $
poichè a è un intero $ \sqrt {q} $ deve essere un intero e quindi q deve essere un quadrato perfetto
In questo modo si possono anche trovare tutte le terne, che se non erro dovrebbero corrispondere con quelle trovate da edriv
$ \displaystyle q=\frac{a^2 + b^2}{ab + 1} $
$ a^2 - abq + b^2 - q=0 $
$ \displaystyle a=\frac {bq \pm \sqrt {q^2b^2 - 4b^2 + 4q}}{2} $
poichè a è intero la radice o è uguale a zero o è un quadrato perfetto, nel primo caso tutti dovrebbero essere uguali a zero nel secondo si ha che i due monomi devono essere $ qb $ e $ 2 \sqrt {q} $ perchè gli unici due con segno positivo, ne consegue che il doppio prodotto debba essere $ 4qb \sqrt {q} $ quindi $ b=q^{\frac {3}{2}} $ sostituendo e risolvendo l'equazione abbiamo:
$ a=\sqrt {q} (q^2 - 1) $
$ a=\sqrt {q} $
poichè a è un intero $ \sqrt {q} $ deve essere un intero e quindi q deve essere un quadrato perfetto
In questo modo si possono anche trovare tutte le terne, che se non erro dovrebbero corrispondere con quelle trovate da edriv
Ultima modifica di Sherlock il 07 apr 2007, 14:13, modificato 1 volta in totale.
Questo pezzo non funziona... una certa espressione puo' essere un quadrato perfetto per qualche valore delle sue variabili anche se non si 'scompone' (in termini di polinomi) in modo da risultare un quadrato perfetto.Sherlock ha scritto: ne consegue che il doppio prodotto debba essere $ 4qb \sqrt {q} $ quindi $ b=q^{\frac {3}{2}} $
Cosa vuoi dire con "valori compresi nel binomio che ne esce fuori"?
Cmq, quella scomposizione è completamente arbitraria: perchè non può darsi che quella cosa sia il quadrato di $ (qb+\srqt{2q}) $, considerando $ -4b^2+2q $ come termine di doppio prodotto e ricavando da lui la condizione?
E poi, tu potresti ragionare come fai se avessi scritto il polinomio come quadrato di u altro polinomio, ma hai usato un'espressione in cui prendi la radice di una variabile e quindi non hai più nessuna garanzia che la tua cosa non si scriva come quadrato in due modi formalmente diversi che poi danno lo stesso numero per alcuni particolari valori delle variabili.
Cmq, quella scomposizione è completamente arbitraria: perchè non può darsi che quella cosa sia il quadrato di $ (qb+\srqt{2q}) $, considerando $ -4b^2+2q $ come termine di doppio prodotto e ricavando da lui la condizione?
E poi, tu potresti ragionare come fai se avessi scritto il polinomio come quadrato di u altro polinomio, ma hai usato un'espressione in cui prendi la radice di una variabile e quindi non hai più nessuna garanzia che la tua cosa non si scriva come quadrato in due modi formalmente diversi che poi danno lo stesso numero per alcuni particolari valori delle variabili.
La dimostrazione (che ho letto) non è tanto incasinata, si basa su due idee:
- principio del minimo. Cerco una soluzione (a,b) minimale
- per trovare altre soluzioni intere in quell'iperbole, usare un "vietè jumping" come lo ho visto chiamare su un forum: dato il polinomio $ ~ x^2+bx+c $, (a coeff. interi), mettiamo che io conosco già una radice intera. Come trovo l'altra? Beh, sapendo la somma delle radici (-b), non dovrebbe essere tanto difficile...
- principio del minimo. Cerco una soluzione (a,b) minimale
- per trovare altre soluzioni intere in quell'iperbole, usare un "vietè jumping" come lo ho visto chiamare su un forum: dato il polinomio $ ~ x^2+bx+c $, (a coeff. interi), mettiamo che io conosco già una radice intera. Come trovo l'altra? Beh, sapendo la somma delle radici (-b), non dovrebbe essere tanto difficile...