Lemma di Gauss

[edriv]

Sia $ ~ p $ un numero primo, a un intero non multiplo di p.
Tra i resti della divisione per p dei numeri $ ~ a,2a,3a,\ldots, \frac{p-1}2 a $, ce ne sono n compresi tra $ ~ \frac{p+1}2 $ e $ ~ p-1 $ (estremi inclusi).
Dimostrare che esiste un intero x tale che $ ~ x^2 \equiv a \pmod p $ se e soltanto se n è pari.

La dimostrazione è semplice ma simpatica.

[Santana]

La dimostrazione è semplice ma simpatica.

Questo problema non richiede molto impegno, con qualsiasi motore di ricerca si trova in 2 secondi http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Gauss.

Richiedere la dimostrazione di teoremi così conosciuti non sembra molto sensato...

[EvaristeG]

A volte capita qualche povero fessacchiotto che vuole provare da solo a risolvere un problema, invece di utilizzare internet.
Per questo è antipatico postare link alla soluzione, indipendentemente dalla facilità con cui si può reperire tale link.
Inoltre, questo è un teorema noto per chi conosce ad un buon livello la teoria dei numeri, non per tutti.

[Santana]

A volte capita qualche povero fessacchiotto che vuole provare da solo a risolvere un problema, invece di utilizzare internet.

Il mio intervento è a favore di quei fessacchiotti, postando problemi di cui non è facile trovare la soluzione nel web si impedisce a essi, anche solo per errore, di non arrivare da soli alla soluzione ma tramite... wikipedia

Inoltre, questo è un teorema noto per chi conosce ad un buon livello la teoria dei numeri, non per tutti.

mettendola così si può dire che è anche un teorema abbastanza complesso, forse non adatto alla teoria elementare dei numeri?

In ogni caso non voglio rovinare la festa a nessuno, chi non lo conosce e è interassato a dimostrarlo da solo faccia pure...

[HiTLeuLeR]

Booooooni - scusate l'OT, non ho saputo resistere!

[edriv]

Uppino!

Potrebbe essere utile sapere che a è un residuo quadratico modulo p se e soltanto se
$ ~ a^{\frac{p-1}2} \equiv -1 \pmod p $
(coi generatori si fa presto) (ah beh, a non è multiplo di p ovviamente).

Per il resto della dimsotrazione non serve altro...