2^n=7x^2+y^2

[salva90]

Questo non è banale:

Si dimostri che se $ n>3 $ allora è sempre possibile trovare due interi dispari $ x,y $ tali che $ 2^n=7x^2+y^2 $

[Santana]

Questo non è banale:

Si dimostri che se $ n>3 $ allora è sempre possibile trovare due interi dispari $ x,y $ tali che $ 2^n=7x^2+y^2 $

è un problema molto bello, che posi io stesso in questo forum parecchio tempo fa...

la mia soluzione http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=10780

chi è interessato a risolverlo non guardi!

[salva90]

Sì, è veramente carina la soluzione. Io ho interpretato il problema in maniera leggermente differente dalla tua.
Dai, chi ci prova? Non vale sbirciare la soluzione proposta nel link

UP!!!!!!!!!!!!!

[piever]

Ahem, forse la mia induzione non e' la soluzione carina di cui si parlava sopra, ma vabbeh...

PASSO BASE:

Esistono a,b interi dispari e congrui tra loro modulo 4 tali che:

$ a^2+7b^2=8 $

Banalmente a=b=1

PASSO INDUTTIVO:

Ora siano a,b interi dispari e congrui tra loro modulo 4 tali che:

$ a^2+7b^2=2^n $

Abbiamo (facile identita' algebrica) la seguente cosa:

$ (\frac{a-7b}{2})^2+7(\frac{a+b}{2})^2=2^{n+1} $

Resta da dimostrare:

A) $ \frac{a-7b}{2}\equiv \frac{a+b}{2} \pmod 4 $

ovverosia: $ a-7b\equiv a+b \pmod 8 $ che e' banalmente vera in quanto $ 0\equiv 8b \pmod 8 $ per qualunque b intero

B) $ \frac{a+b}{2}\equiv 1\pmod 2 $

(il fatto che a quel punto $ \frac{a-7b}{2}\equiv 1\pmod 2 $ segue per il punto A)

la tesi B) equivale a $ a+b\equiv 2\pmod 4 $ che e' vera in quanto per ipotesi $ a-b\equiv 0\pmod 4 $ e $ 2b\equiv 2\pmod 4 $

FINE