Gaps nell'immagine della funzione dei divisori
Gaps nell'immagine della funzione dei divisori
Per ogni $ k > 1 $ ed ogni intero $ n > 0 $, sia $ \sigma_k(n) $ la somma delle potenze $ k $-esime dei divisori interi positivi di $ n $. Mostrare che, qualunque sia $ m \in \mathbb{N} $, esistono infiniti $ \alpha_{m,k} \in \mathbb{N} $ tali che $ \sigma_k(\mathbb{N}^+) $ interseca nel vuoto l'intervallo $ [\alpha_{m,k}, \alpha_{m,k} + m] $. Stabilire quindi un upper bound non banale per il minimo $ \alpha_{m,k} $ che gode della proprietà indicata.