Siano $ a,b $ interi positivi con $ b>1 $.
Dimostrare allora che $ ab+1 $ e $ ab^3+1 $ non sono entrambi quadrati perfetti.
quadrati perfetti
HiTLeuLeR wrote ha scritto:Sia ab + 1 = u^2, dove u \in \mathbb{N}. Allora ab^3 + 1 < ab^3 + b^2 = (ub)^2, poiché si ammette b > 1. D'altro canto, (ub - 1)^2 = u^2 b^2 - 2ub + 1 = (ab + 1)b^2 - 2(ab + 1)b + 1 < ab^3 + (1 - 2a) b^2 + 1 < ab^3 + 1. Pertanto ab^3 + 1 non può essere il quadrato di un intero.
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Simo_the_wolf
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uhm vediamo se ci becco... 
$ (ab+1)(ab^3+1) $ essendo prodotto di quadrati, è anch'esso un quadrato... ma abbiamo:
$ \displaystyle (ab^2 + \frac b2 -1)^2 < (ab+1)(ab^3+1) < (ab^2 + \frac b2 +1)^2 $
Infatti svolgendo i calcoli e semplificando abbiamo che, per la prima disuguaglianza:
$ b^2 < 8ab^2 + 4b + 4ab $
Per la seconda otteniamo:
$ b^2 + 8ab^2 + 4b >4ab $
che sono entrambe vere per $ a,b \geq 1 $
ora bisogna dividere in due casi: $ b $ pari o dispari. nel caso $ b $ sia pari $ (ab+1)(ab^3+1) = (ab^2 +b/2)^2 $ cioè $ b^2-4ab-4=0 $ che non ha soluzioni in $ b $ poichè il delta è $ 4a^2 +4 $ che non è mai un quadrato per $ a>0 $
Se $ b $ è dispari bisogna verificare $ (ab+1)(ab^3+1)=(ab^2+ b/2 \pm 1/2)^2 $. Osservando la nostra equazione modulo $ b $ abbiamo $ 1 \equiv (1/2)^2 \pmod{b} $ e dunque $ 3|b $ e dunque $ 3=b $ ma in questo caso sarebbe $ (9a+1)^2 < (3a+1)(27a+1) < (9a+2)^2 $ e quindi è impossibile che sia un quadrato.
$ (ab+1)(ab^3+1) $ essendo prodotto di quadrati, è anch'esso un quadrato... ma abbiamo:
$ \displaystyle (ab^2 + \frac b2 -1)^2 < (ab+1)(ab^3+1) < (ab^2 + \frac b2 +1)^2 $
Infatti svolgendo i calcoli e semplificando abbiamo che, per la prima disuguaglianza:
$ b^2 < 8ab^2 + 4b + 4ab $
Per la seconda otteniamo:
$ b^2 + 8ab^2 + 4b >4ab $
che sono entrambe vere per $ a,b \geq 1 $
ora bisogna dividere in due casi: $ b $ pari o dispari. nel caso $ b $ sia pari $ (ab+1)(ab^3+1) = (ab^2 +b/2)^2 $ cioè $ b^2-4ab-4=0 $ che non ha soluzioni in $ b $ poichè il delta è $ 4a^2 +4 $ che non è mai un quadrato per $ a>0 $
Se $ b $ è dispari bisogna verificare $ (ab+1)(ab^3+1)=(ab^2+ b/2 \pm 1/2)^2 $. Osservando la nostra equazione modulo $ b $ abbiamo $ 1 \equiv (1/2)^2 \pmod{b} $ e dunque $ 3|b $ e dunque $ 3=b $ ma in questo caso sarebbe $ (9a+1)^2 < (3a+1)(27a+1) < (9a+2)^2 $ e quindi è impossibile che sia un quadrato.