sns 2000-2001

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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HomoPatavinus
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sns 2000-2001

Messaggio da HomoPatavinus » 03 set 2006, 17:37

Siano p>1 , q>1 numeri interi e sia x > 0 un numero reale.
a) Quale condizione su p e q garantisce che se $ x^p $ e $ x^q $ sono numeri interi allora x stesso è intero?
b) Quale condizione su p e q garantisce che se $ x^p $ e $ x^q $ sono numeri razionali allora x stesso è razionale?

posto questo esercizio perchè a me viene una soluzione troppo banale per essere vera....

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 03 set 2006, 18:42

b) Sse gcd(p,q) = 1.

Dim.: sia r = gcd(p,q). Posto allora $ x = \sqrt[r]{2} $, si ha che $ x^p $ ed $ x^q $ sono entrambi razionali (anzi interi), e tuttavia $ x $ è irrazionale, a meno che r = 1. In tal caso, per via del lemma di Bezout, esistono $ m,n\in\mathbb{Z} $ tali che $ mp + nq = 1 $, e perciò $ x = x^{mp + nq} = (x^p)^m (x^q)^n $. Dunque $ x\in\mathbb{Q} $, se $ x^p $ ed $ x^q $ sono entrambi razionali. []

a) Sse gcd(p,q) = 1.

Dim.: immediata conseguenza della b).

HomoPatavinus
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Messaggio da HomoPatavinus » 03 set 2006, 21:32

anche a me è venuto cosi, ma mi sembrava troppo facile... io ho semplicemente fatto questo ragionamento;
se x è intero x^p è intero
se x è razionale x^p è razionale
se x è irrazionale x^p è razionale solo quando x = a^1/p , dove a è razionale.
ora tu non puoi essere sicuro che x = a^1/p non ti capiterà mai, può sempre capitare, allora per evitare che succeda anche con q basta che scegli un numero primo con p.

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Messaggio da HiTLeuLeR » 04 set 2006, 11:05

HomoPatavinus ha scritto: se x è irrazionale x^p è razionale solo quando x = a^1/p , dove a è razionale.
ora tu non puoi essere sicuro che x = a^1/p non ti capiterà mai, può sempre capitare, allora per evitare che succeda anche con q basta che scegli un numero primo con p.
Vedo un uomo, sulla riva del mare. Guarda fisso le onde, ha intuito la verità. Tuttavia, da qui ad averla dimostrata...

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