sns 2006-2007, es. 3

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 07 set 2006, 14:22

Scusa LHS sarebbe?
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 07 set 2006, 14:24

Left-Hand Side = membro sinistro.

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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 07 set 2006, 14:30

Krazie..... :shock: però che roba.......
E già che ci sono cosa sarebbe WLog?
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 07 set 2006, 14:39

Per questa come per ogni altra informazione, sarebbe meglio cercare da soli un poco, prima di chiedere :
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=5749

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Messaggio da NEONEO » 07 set 2006, 15:20

Non l'ho trovato... :(
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HomoPatavinus
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Messaggio da HomoPatavinus » 08 set 2006, 09:10

without loss of generality = wlog

snagg
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Messaggio da snagg » 21 set 2006, 21:02

Un'altra dimostrazione, qualcuno mi dice se è sbagliata e dove?

$ 4^x + 4^y + 4^z = n^2 $

posto n > 1, possiamo scriverlo come un binomio del tipo (m + n)^2

ora Affinchè l'uguaglianza sia vera uno tra i membri in LHS deve essere il doppio prodotto di due quadrati, poichè tutti e tre sono quadrati perfetti possiamo sceglierne albitrariamente uno. Consideriamo 4^z come il doppio prodotto del binomio

$ (2^x + 2^y)^2= 4^x + 4^y + 2^{x + y + 1} $ dunque abbiamo che $ z= \frac{x + y + 1}{2} $. Affinchè sia valida dobbiamo avere
$ 2 | x + y +1 $ Dunque le soluzioni sono tutte quelle della forma $ (x, y , \frac{x + y+ 1}{2}) $ t.c x + y+ 1 = 2k

Sbaglio? dove?

EDIT: (grazie edriv) mi manca il secondo punto della dimostrazione, vedo se riesco a finirlo. Sorry

EDIT2: proviamo a dimostrare che sono tutte e sole

allora abbiamo detto che x + y+ 1 = 2k

dunque uno tra x e y deve essere pari e l'altro dispari

sia x=2t e y=2m +1 z può essere sia pari che dispari

Dimostriamo che sono le uniche soluzioni, le altre due alternative infatti sarebbero o tutti gli esponenti pari o tutti gli esponenti dispari.

Tutte le potenze di 4 pari modulo 5 sono congrue a 1 dunque

$ -1 - 1 - 1 \equiv 2 \mod 5 $, ma poichè i quadrati mod 5 sono congrui o a 1 o a -1 o a 0 allora non esistono soluzioni di questo tipo.

Nel caso in cui invece si considerano tutti gli esponenti dispari abbiamo che le potenze di 4 modulo 5 sono congrue a 1, dunque

$ 1 + 1 + 1 \equiv -2 \mod 5 $. Anche in questo caso non ci sono soluzioni

EDIT3: manca ancora da dimostrare che non ci sono quadrati esprimibili in maniera diversa da quel quadrato di binomio (grazie ani, phi, sisifo)

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