Definitivamente phi(n) > pi(n)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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HiTLeuLeR
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Definitivamente phi(n) > pi(n)

Messaggio da HiTLeuLeR » 31 ago 2006, 22:44

Siano $ \phi(\cdot) $ la funzione di Eulero e $ \pi(n) $ il numero dei primi naturali $ \le n $, per ogni $ n\in\mathbb{N}^+ $. Utilizzando unicamente risultati della teoria elementare dei numeri (e quindi, in particolare, evitando di coinvolgere ogni sorta di disuguaglianze per $ \pi(\cdot) $ derivate dalla teoria analitica), mostrare che definitivamente $ \phi(n) > \pi(n) $. 8)

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 02 set 2006, 15:14

io aggiungerei qualche bound... infatti per n=4,36 si ha uguaglianza e per n=6,12,24,60,30 è reversed ad esempio.

Anzi ti dirò... Esistono infiniti $ n $ tali che $ \phi (n) < \pi (n) $...

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 02 set 2006, 16:51

Simo_the_wolf ha scritto:io aggiungerei qualche bound... infatti per n=4,36 si ha uguaglianza e per n=6,12,24,60,30 è reversed ad esempio.
Secondo te cosa significa che la disuguaglianza è verificata definitivamente!?
Simo_the_wolf ha scritto:Anzi ti dirò... Esistono infiniti $ n $ tali che $ \phi (n) < \pi (n) $...
Ah, davvero!? Strano, visto che non ci vuole nulla, per via analitica, a provare che definitivamente $ \displaystyle\pi(n) < \frac{3n}{2 \ln n} < \phi(n) $. :? Ma se ci dici che esistono infiniti n per cui la disuguaglianza è addirittura capovolta, be'... Immagino ci toccherà per forza crederti sulla parola, non è così? :roll:

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 02 set 2006, 17:37

Scusa sul fatto che sono infiniti ho sbagliato ma per definitivamente che intendi?

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Messaggio da AleX_ZeTa » 02 set 2006, 17:39

che da un certo n in poi è sempre vera
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."

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jordan
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Messaggio da jordan » 29 ago 2009, 01:23

The only goal of science is the honor of the human spirit.

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