Triangoli Eroniani

[Kocour]

Un triangolo è chimato eroniano se ogni suo lato è di lunghezza intera e la sua area è espressa da un intero. Un triangolo è chimato pitagorico se è rettangolo e ogni suo lato è di lunghezza intera.
(a) Dimostrare che ogni triangolo pitagorico è eroniano.
(b) Dimostrare che ogni intero dispari maggiore di 1 è la lunghezza di un lato di qualche triangolo pitagorico.
(c) Trovare un triangolo Eroniano con le lunghezze dei lati tutte differenti e nessuna divisibile per 3, 5, 7, 11.

[Santana]

Un triangolo è chimato eroniano se ogni suo lato è di lunghezza intera e la sua area è espressa da un intero. Un triangolo è chimato pitagorico se è rettangolo e ogni suo lato è di lunghezza intera.
(a) Dimostrare che ogni triangolo pitagorico è eroniano.
(b) Dimostrare che ogni intero dispari maggiore di 1 è la lunghezza di un lato di qualche triangolo pitagorico.
(c) Trovare un triangolo Eroniano con le lunghezze dei lati tutte differenti e nessuna divisibile per 3, 5, 7, 11.

I lati $ a,b,c $ con $ c $ ipotenusa di un triangolo pitagorico soddisfano $ a^2+b^2=c^2 $ e la sua area è $ (ab)/2 $ ora se $ a,b $ sono entrambi dispari abbiamo $ a^2+b^2 \equiv 1+1 \equiv c^2 \mod 4 $ impossibile, da cui la (a). Alternativamente è possibile usare la formula delle terne...pitagoriche.

Si ha $ (2k+1)^2+(2(k)(k+1))^2=(2k^2+2k+1)^2 $ da cui la (b).

[HiTLeuLeR]

Un triangolo è chimato eroniano se ogni suo lato è di lunghezza intera e la sua area è espressa da un intero. Un triangolo è chimato pitagorico se è rettangolo e ogni suo lato è di lunghezza intera.
(c) Trovare un triangolo Eroniano con le lunghezze dei lati tutte differenti e nessuna divisibile per 3, 5, 7, 11.

Come già Diofanto per le terne pitagoriche, così Carmichael ha derivato un'espressione parametrica per i lati di un triangolo eroniano intero. In particolare, se a, b, c sono i lati di un generico triangolo T, allora T è eroniano intero primitivo (nel senso delle trasformazioni di similarità) sse $ a = m (m^2+k^2) $, $ b = n(n^2+k^2) $ e $ c = (m+n)(mn-k^2) $, dove m, n, k sono interi tali che $ \gcd(m,n,k) = 1 $, $ \displaystyle mn > k^2 \ge \frac{m^2 n}{2m+n} $ ed $ m \ge n \ge 1 $. A questo punto, rispondere alla c) diventa una emerita str...