Sns 2002/2003 #1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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evans
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Sns 2002/2003 #1

Messaggio da evans » 23 ago 2006, 17:31

Detreminare se esiste un numero positivo divisibile per 2002 la cui somma delle cifre è 2002.

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 23 ago 2006, 17:53

Fatti: 2002 = $ 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 $. Sia m = lcm($ \mbox{ord}_7(10), \mbox{ord}_11(10), \mbox{ord}_7(13) $) = 6. Allora $ \displaystyle 1001 \mid \alpha_{n,k} $, se $ \displaystyle\alpha_{n,k} = 10^n \cdot \frac{10^{6k} - 1}{9} $, per ogni $ n, k \in \mathbb{N} $. Se inoltre $ s: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ indica la funzione che ad ogni intero $ \ge 0 $ associa la somma delle sue cifre decimali, vale $ s(\alpha_{n,k}) = 6k $. Osservando a questo punto che $ 2002 \mid (\alpha_{n,k} + 2002) $ ed $ s(\alpha_{n,k} + 2002) = 6k + 4 $, per ogni intero $ n \ge 4 $, si conclude verificando che esiste $ k \in \mathbb{N} $ tale che 6k + 4 = 2002.

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evans
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Messaggio da evans » 23 ago 2006, 18:31

Che velocità! Tuttavia come al solito no ho capito i passaggi... puoi aiutarmi?

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 23 ago 2006, 18:37

Sì, purché tu mi dica di preciso cosa non ti è chiaro. Tirando a indovinare, immagino che i tuoi primi dubbi riguardino le notazioni: lcm indica il least common multiple (in italiano, minimo comune multiplo) degli interi passati per argomento; $ \mbox{ord}_n(a) $ l'ordine moltiplicativo di n alla base a, che è definito proprio qui, fra le altre voci del glossario.

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 23 ago 2006, 22:36

qualcuno (credo su questo forum) ha individuato direttamente il numero:

2002 x 5 = 10010

la cui somma delle cifre è 2.

"Affiancando" 1001 numeri 10010 di fila si ottiene il numero cercato.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

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evans
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Messaggio da evans » 25 ago 2006, 18:58

le condizioni del problema sono:

$ n\equiv 0\bmod 2002 $

$ n\equiv 2002\bmod 9 $

a questo punto c'è un modo per risolvere il sistema?

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 25 ago 2006, 19:20

evans ha scritto:le condizioni del problema sono:

$ n\equiv 0\bmod 2002 $

$ n\equiv 2002\bmod 9 $

a questo punto c'è un modo per risolvere il sistema?
Non è così, evans. Il sistema congruenziale da te indicato ammette, fra le altre soluzioni, n = 2002, che in tutta evidenza non risolve il problema originale. Fra i due non c'è infatti alcuna equivalenza...

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Messaggio da EvaristeG » 25 ago 2006, 19:27

Eh, purtroppo evans, il problema implica quelle condizioni, ma non è detto che una soluzione a quel sistema sia una soluzione del problema :
$ 2002\cdot 10\equiv 0 \bmod 2002 $
$ 2002\cdot 10\equiv 2002\cdot1\equiv2002\bmod 9 $
ma 20020 non va bene (per non parlare dello stesso 2002 che è pure lui soluzione). Il fatto che la somma delle cifre sia 2002 non è equivalente al fatto che il numero sia congruo a 2002 modulo 9.
Per quanto riguarda le soluzioni di quel sistema ... mai sentito parlare di teorema cinese del resto? Informati nel glossario, nel caso.

Ah, Hit mi ha anticipato.

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evans
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Messaggio da evans » 25 ago 2006, 20:28

Ok se ho ben capito il fatto che un intero sia congruo mod 9 alla somma delle cifre non può essere applicato nella ricerca di un'unica soluzione perchè vi sono altri infiniti interi che soddifano l'equivalenza mod 9, giusto?

Esiste un'altro metodo per risolvere la questione(poichè non credo che all'ammissione sia data per certa la conoscenza dell ordine moltiplicativo)?
Inoltre in ogni caso come si determinano le soluzioni di quel sistema usando il teorema cinese del resto?

GRAZIE

pic88
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Messaggio da pic88 » 25 ago 2006, 20:38

Mi introduco solo per risolvere il sistema di congruenze, ricordando che il teorema cinese del resto dice:
dati A,B primi fra loro, è possibile risolvere in x il seguente
$ x \equiv r $ $ mod $ $ A $
$ x \equiv s $ $ mod $ $ B $

nel nostro caso, n è l'incognita.
esprimiamo n nella forma
$ 2002a+9b $
$ n = 2002a+9b \equiv 9b $ $ mod 2002 $
deve essere quindi
$ 9b \equiv 0 $ $ mod 2002 $
e, ad esempio, $ b=2002 $ va bene.

analogamente, deve essere
$ n = 2002a + 9b \equiv 4a \equiv 4 $ $ mod 9 $
per cui a=1 va bene
Soluzione del sistema è
$ n=20020 $ , le altre si ottengono aggiungendo multipli interi di $ 2002*9=18018 $

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Nomen
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Messaggio da Nomen » 09 mag 2007, 13:25

Consideriamo il numero

n = 182182182182.......182

costituito da 182 "blocchi" di cifre 182.
Allora la somma delle cifre di n è proprio 2002 infatti (1+8+2)*182=2002
e n è divisibile per 2002 infatti preso il "blocco" 182182, questo è divisibile per 2002. Essendo n costituito da un numero di blocchi pari, anch'esso sarà divisibile per 2002.
Che dite, magari formulata meglio, può essere accettata come soluzione, anche se non è molto rigorosa?

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Ponnamperuma
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Messaggio da Ponnamperuma » 09 mag 2007, 14:36

Credo, Nomen, che la tua soluzione sia più che accettabile... Il come tu abbia trovato il tuo numero non è importante, ciò che conta è che soddisfa le condizioni richieste, pertanto tu hai univocamente risposto al problema! :)
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger

MIND torna!! :D

Omar93
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Re: Sns 2002/2003 #1

Messaggio da Omar93 » 18 ago 2012, 16:33

Un'altra possibile soluzione era anche: 100120022002.....2002 con 2002 ripetuto 500 volte.
Infatti $ \sum a_i = 2002 $ e se le cifre $ a_i $ valgono tutte due ho 2 ripetuto 1001 volte. Allora posso notare che 2002 = 2*1000 + 2*1 ovvero posso avere un 1001 e un 2002. Inoltre 2002 | 1001*10^k (k>1) il che porta a ciò detto sopra.
$ 2^{43 112 609} - 1 $

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