Number theoretic trivialities

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Ani-sama
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Number theoretic trivialities

Messaggio da Ani-sama » 09 lug 2006, 16:06

Trovare tutte le soluzioni intere di:

$ $(m^2+n)(m+n^2) = {(m+n)}^3$ $

Notice: esercizio assolutamente rivolto ai "non-esperti", buono per impratichirsi un po'. :)
Ultima modifica di Ani-sama il 09 lug 2006, 17:57, modificato 1 volta in totale.
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pic88
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Messaggio da pic88 » 09 lug 2006, 16:22

oltre a (0,m) (n,0), sviluppo, semplifico e ho: (m-3)(3.n)=-8 da cui risolvo

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hydro
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Messaggio da hydro » 10 lug 2006, 13:07

Svolgendo e semplificando diventa

$ mn(mn+1-3(m+n))=0 $. Quindi vanno bene tutte le coppie $ (m;0),(0;n) $ oppure quelle tali che $ mn+1-3(m+n)=0 $, ovvero $ (m-3)(n-3)=8 $, da cui, provando i vari casi, $ (m;n)=(4;11),(-5;2),(5;7),(1;-1) $ più tutte le loro permutazioni, essendo l'espressione simmetrica in m e n

snagg
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Messaggio da snagg » 10 lug 2006, 21:58

uhm aggiungiamo qualcosa:
dire se esistono soluzioni intere per:
$ n^2 + (n +1)^2 + (n+ 2)^2 = m^2 $

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hydro
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Messaggio da hydro » 11 lug 2006, 11:57

Svolgiamo i calcoli, diventa:

$ 3(n+1)^2=m^2-2 $. Quindi il membro a sinistra deve essere $ \equiv 0 \mod 3 $. Ma i residui quadratici $ \mod 3 $ sono solo 0,1. Quindi non vi sono soluzioni

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