k*2^(2^n)+1 e' composto...

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Leblanc
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k*2^(2^n)+1 e' composto...

Messaggio da Leblanc » 26 giu 2006, 13:11

Dimostrare che per ogni k esistono infiniti n per cui $ k \cdot 2^{2^n}+1 $ e' composto.

snagg
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Messaggio da snagg » 26 giu 2006, 17:57

scusa la domanda idiota ma n e k sono da intendersi $ n,k \in \mathbb N $ e n,k > 0 ?

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Leblanc
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Messaggio da Leblanc » 26 giu 2006, 20:37

si', hai ragione, mi sono dimenticata di specificarlo...sono interi e $ n, k > 0 $.

snagg
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Messaggio da snagg » 26 giu 2006, 21:30

posto il primo pezzo che è anche il più banale se mi viene in mente altro poi vado avanti. Consideriamo i numeri $ k\cdot2^{2^n} -1 , k\cdot2^{2^n}, k\cdot2^{2^n} +1 $, almeno uno di questi 3 deve essere divisibile per 3 e dunque composto. Dobbiamo stabilire quando tra i tre numeri l'ultimo sia divisibile per 3. Notiamo che tutte le potenze pari di 2 mod 3, danno resto 1 e che
noi abbiamo a che fare con potenze pari di 2. Dunque avremo che preso un k qualunque tale che $ k \equiv -1 \pmod 3 $, qualsiasi $ n\neq 0 $ soddisfa $ k\cdot 2^{2^n} + 1 \equiv 0 \pmod 3 $. Restano i casi in cui k, da resto 0 o 1 mod 3, però ancora non ho trovato una soluzione decente.
Magari c'è qualcosa di più elegante..

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