equazione con parti intere

[tuvok]

Questo era capitato nella gara a squadre di Cesenatico l'anno scorso:
determinare quanti sono i numeri reali $ x\, $ compresi tra 1 e 100 (estremi inclusi) che soddisfano
$ \lbrack x^2 \rbrack + \lbrack x \rbrack ^2=2x\lbrack x \rbrack $, dove $ \lbrack \alpha \rbrack $ indica la parte intera di $ \alpha\, $

[darkcrystal]

x è ovviamente razionale: se così non fosse, il membro destro, prodotto di un non-razionale per un intero non potrebbe essere intero.
Posto poi $ \displaystyle x=k + \frac{q}{p} $ con q<p, si ha:
$ [x]=k; [x]^2=k^2; [x^2]=[k^2 + \frac{q^2}{p^2}+\frac{2kpq}{p^2}]=k^2+[\frac{2kq}{p}] $
Da ciò, fatti i dovuti conti, ci si riduce a
$ [2k\frac{q}{p}]=2k \frac{q}{p} $, con q che varia tra 0 e p-1.
Ovviamente p|2k, ma allora [e questo non mi piace, però] ponendo p=2k si possono ottenere tutti gli interi tra 0 e 2k-1.
Questo vuol dire che, essendo k la parte intera di x, il numero degli x è dato da
$ \displaystyle 1 + \sum_{k=1}^{99}(2k-1)}=9802 $, dato che l'unico x con parte intera = 100 è proprio x=100, essendo il limite superiore.

[tuvok]

A me usciva $ 9901 $... Qualcun'altro ha provato a risolverlo?

[darkcrystal]

Si, errore mio... tutti gli interi tra 0 e 2k-1 sono 2k, non 2k-1, quindi rispetto alla sommatoria che ho scritto ieri sera - evidentemente sotto l'effetto di allucinogeni - bisogna aggiungere 99, quindi viene 9901 anche a me.

Ciao!