lcm e gcd

[giuseppe87x]

Ragazzi qualcuno di voi sa dimostrare che

$ lcm(a,b)*gcd(a,b)=a*b $?

Grazie.

[Boll]

Avevo giurato di non fare matematica per un po', ma questo risultato è bellino e non mi era noto.

D'ora in poi $ (a,b) $ è l'mcd e $ \mbox{lcm}(a,b) $ l'mcm.

Poniamo $ a=(a,b)x $ $ b=(a,b)y $

Nel computo dell'mcm entreranno certamente $ x $ e $ y $ poichè i fattori non comuni con il massimo esponente sono tutti contenuti in essi. a questi bisognerà aggiungere i fattori contenuti nel massimo comun divisore poichè in tal modo sarà possibile avere il massimo esponente anche per i fattori comuni quindi

$ xy(a,b)=\mbox{lcm}(a,b) $
$ $ \frac{a}{(a,b)}} \frac{b}{(a,b)}(a,b)=\mbox{lcm}(a,b) $
$ ab=(a,b)\mbox{lcm}(a,b) $

EDIT: Dimenticata una cosina
EDIT2: L'inglese non è mai stato il mio forte

[piever]

$ \frac{a}{(a,b)}\frac{b}{(a,b)}=gcd(a,b) $

Veramente a me risulta:

$ \frac{a*b}{(a,b)}=gcd(a,b) $

sempre che tu con gcd intenda mcm.

[livingbooks]

mmh boll...
ma qui non ci sei anche tu? (comunque non rimano... sono sdrucciole)

[Boll]

Vista così grossa e generale evidentemente mi aveva solo impressionato e non la ricordavo :P:P

[Ani-sama]

Mmm, Boll, a rigor di... lingua, "gcd" dovrebbe stare per "greatest common divisor" (non sono sicuro sul "divisor" ) e quindi... MCD

[piever]

ahem, forse divider?

[Ani-sama]

Nel computo dell'mcm entreranno certamente x e y poichè i fattori non comuni con il massimo esponente sono tutti contenuti in essi. a questi bisognerà aggiungere i fattori contenuti nel massimo comun divisore poichè in tal modo sarà possibile avere il massimo esponente anche per i fattori comuni quindi

Oppure, più semplicemente che:

$ ab={(a,b)}^2 \cdot xy = \mbox{lcm}(a,b) \cdot (a,b) $
$ (a,b)xy = \mbox{lcm}(a,b) $

In cui si può risostituire $ a $ e $ b $, ottenendo la tesi...

o no?