lcm e gcd

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
giuseppe87x
Messaggi: 13
Iscritto il: 06 mar 2006, 19:38

lcm e gcd

Messaggio da giuseppe87x » 12 apr 2006, 20:56

Ragazzi qualcuno di voi sa dimostrare che

$ lcm(a,b)*gcd(a,b)=a*b $?

Grazie.

Avatar utente
Boll
Messaggi: 1076
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Boll » 12 apr 2006, 21:17

Avevo giurato di non fare matematica per un po', ma questo risultato è bellino e non mi era noto.

D'ora in poi $ (a,b) $ è l'mcd e $ \mbox{lcm}(a,b) $ l'mcm.

Poniamo $ a=(a,b)x $ $ b=(a,b)y $

Nel computo dell'mcm entreranno certamente $ x $ e $ y $ poichè i fattori non comuni con il massimo esponente sono tutti contenuti in essi. a questi bisognerà aggiungere i fattori contenuti nel massimo comun divisore poichè in tal modo sarà possibile avere il massimo esponente anche per i fattori comuni quindi

$ xy(a,b)=\mbox{lcm}(a,b) $
$ $ \frac{a}{(a,b)}} \frac{b}{(a,b)}(a,b)=\mbox{lcm}(a,b) $
$ ab=(a,b)\mbox{lcm}(a,b) $

EDIT: Dimenticata una cosina
EDIT2: L'inglese non è mai stato il mio forte
Ultima modifica di Boll il 13 apr 2006, 11:52, modificato 2 volte in totale.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da piever » 12 apr 2006, 21:34

$ \frac{a}{(a,b)}\frac{b}{(a,b)}=gcd(a,b) $
Veramente a me risulta:

$ \frac{a*b}{(a,b)}=gcd(a,b) $

sempre che tu con gcd intenda mcm.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

Avatar utente
livingbooks
Messaggi: 64
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da livingbooks » 12 apr 2006, 23:10

mmh boll...
ma qui non ci sei anche tu? (comunque non rimano... sono sdrucciole)

Avatar utente
Boll
Messaggi: 1076
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Boll » 13 apr 2006, 11:47

Vista così grossa e generale evidentemente mi aveva solo impressionato e non la ricordavo :P:P:P
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

Avatar utente
Ani-sama
Messaggi: 418
Iscritto il: 19 feb 2006, 21:38
Località: Antwerpen (BE)
Contatta:

Messaggio da Ani-sama » 13 apr 2006, 11:49

Mmm, Boll, a rigor di... lingua, "gcd" dovrebbe stare per "greatest common divisor" (non sono sicuro sul "divisor" :D) e quindi... MCD :D
...

piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da piever » 19 apr 2006, 18:58

ahem, forse divider?
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

Avatar utente
Ani-sama
Messaggi: 418
Iscritto il: 19 feb 2006, 21:38
Località: Antwerpen (BE)
Contatta:

Messaggio da Ani-sama » 03 mag 2006, 00:45

Nel computo dell'mcm entreranno certamente x e y poichè i fattori non comuni con il massimo esponente sono tutti contenuti in essi. a questi bisognerà aggiungere i fattori contenuti nel massimo comun divisore poichè in tal modo sarà possibile avere il massimo esponente anche per i fattori comuni quindi
Oppure, più semplicemente che:

$ ab={(a,b)}^2 \cdot xy = \mbox{lcm}(a,b) \cdot (a,b) $
$ (a,b)xy = \mbox{lcm}(a,b) $

In cui si può risostituire $ a $ e $ b $, ottenendo la tesi...

o no? :D
...

Rispondi