Progressioni imprevedibili

[post233]

Esistono terne di interi positivi $ a,b,c $ tali che i 7 numeri $ a, b, c, -a+b+c, a-b+c, a+b-c, a+b+c $ formino una progressione aritmetica (presi in un qualche ordine)?

Fonte: INMO 2002

[piever]

Cosa significa esattamente progressione aritmetica?

[edriv]

Significa che la differenza tra un termine e quello successivo è costante: 3,10,17,24,31,38,... è una progressione aritmetrica di ragione 7.

[darkcrystal]

Dev'essere una sciocchezza, ma...
poichè nei 7 valori compaiono sia a che b che c, e quindi $ a\neq b \neq c $ possiamo prendere, a meno di permutazioni, $ a>b>c $
Perciò il valore più alto è a+b+c, il secondo a+(b-c), in quanto (b-c)>0 per ipotesi, e tale valore è perciò maggiore di a,b,c, e delle altre combinazioni.
Da ciò si ottiene che la ragione è 2c $ r=(a+b+c)-(a+b-c)=2c $, perciò a=5c, b=3c, c=c (ma dai!). Tuttavia, sostituendo questi valori si ha che
a+b+c=9c
-a+b+c=-c
a-b+c=3c
a+b-c=7c
a=5c
b=3c
c=c

In cui compaiono due valori uguali, perciò *dovrebbe* essere impossibile. Però mi sembra troppo facile

[post233]

perciò $ a=5c, b=3c $

Questo perché, scusa? Come sai che $ a,b,c $ sono consecutivi nella progressione?

[darkcrystal]

Si, me ne sono reso conto stamattina... le 11.17 non sono un bell'orario per fare i problemi...
Ritento, ma mi sa che sia ancora peggio, questa.

Parte 1 - chi è il più piccolo
allora... a>b>c; (-a+b)<0, perciò (-a+b)+c<c<b<a
Inoltre (a-b)>(b-a) perciò (a-b)+c>(-a+b)+c
Poi a+b+c>-a+b+c, e infine a+b-c>a>(-a+b)+c
Perciò il più piccolo è (-a+b)+c

Allora: a+b+c è il più grande, mentre -a+b+c è il più piccolo, perciò $ a+b+c - (-a+b+c) = 2a $ dev'essere anche uguale a 12c, poichè ci sono 7 termini (e quindi 6 volte si aggiunge la ragione) nella progressione. Percià a=6c.
Otteniamo che $ a+b+c=7c+b $, e $ a+b+c-a=b+c $ deve essere multiplo di 2c. Perciò b può valere:
1) c, ma questo è in contrasto con quanto detto prima (b>c)
2) 3c, assurdo perchè nella progressione compare 6c, e la progressione ha ragione 2c
3) 5c, assurdo perchè nella progressione compare 6c, e la progressione ha ragione 2c
4) valori maggiori, assurdo perchè sarebbe b>a
In conclusione, rimane impossibile
Tenendo conto che mi sono svegliato ben dieci minuti fa,
Davide
Ciao!

[post233]

Ok, perfetto.
Comunque, una volta scoperto che $ a=6c $ e che $ r=2c $, essendoci nella progressione aritmetica sia $ a $ che $ c $, necessariamente $ 2c|a-c=5c $, assurdo.

[darkcrystal]

Senti... ero ancora nei fumi del sonno, già da ringraziare di non aver scritto sciocchezze
Ciao!

[post233]

Lol, ,ok, ciao!

[afullo]

Vi propongo una soluzione alternativa (sperando che sia giusta, non si sa mai!)

Supponiamo per assurdo che esista una progressione aritmetica siffatta, e chiamiamo n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7 i sette termini della progressione, imponendo che n1 < n2 < n3 < n4 < n5 < n6 < n7.

Si ha innanzitutto che (a+b+c) è il più grande tra i termini, ed è quindi uguale ad n7. Inoltre, posto n4 = k e la ragione d, si ha che:

n1 = k – 3d
n2 = k – 2d
n3 = k – d
n4 = k
n5 = k + d
n6 = k + 2d
n7 = k + 3d

È facile notare da ciò che la media aritmetica di tutti gli ni è pari a n4.

Ma la media aritmetica è la somma dei sette termini diviso sette, che è pari a (3/7)*(a+b+c), cioè (3/7)* n7. Se ne deduce praticamente immediatamente che 3d = (4/7)* n7, ergo d = (4/21)* n7.

Si possono quindi scrivere tutti gli ni in funzione di n7:

n1 = -3*(n7/21)
n2 = 1*(n7/21)
n3 = 5*(n7/21)
n4 = 9*(n7/21)
n5 = 13*(n7/21)
n6 = 17*(n7/21)
n7 = 21*(n7/21)

Ora, poiché n7 = a+b+c, deve poter essere scritto come somma di tre numeri tra n1 e n6. Si ha quindi:

n7 = ni + nj + nk

e, posto:

ni = (4x+1)*(n7/21)
nj = (4y+1)*(n7/21)
nk = (4z+1)*(n7/21)

(si noti che tutti i coefficienti nella lista degli ni sono congrui a 1 modulo 4, pertanto questa scrittura è corretta)

21*(n7/21) = (4x+1)*(n7/21) + (4y+1)*(n7/21) + (4z+1)*(n7/21)
21*(n7/21) = (4x+4y+4z+3)* (n7/21)
21 = 4x+4y+4z+3
4x+4y+4z = 18
4(x+y+z) = 18

che ovviamente non può avere soluzioni intere, poichè 4 non divide 18.

In altre parole, tutti i coefficienti sono congrui a 1 modulo 4, e pertanto la somma di tre di essi è congrua a 3 modulo 4; dunque nessuno di essi può essere scritto come somma di tre di essi.

Dunque non è possibile trovare x,y,z interi, ergo non è possibile trovare ni nj ed nk, cioè n7 non è somma di tre dei termini della progressione, il che è assurdo, in quanto contrasta con l’ipotesi iniziale.

Per cui una siffatta progressione non può esistere.

p.s. scusate se non ho messo i pedici per gli indici ma sono di fretta... spero si capisca lo stesso