Più di qua o più di là? (Divisori mod 4)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Boll
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Più di qua o più di là? (Divisori mod 4)

Messaggio da Boll » 31 gen 2006, 15:09

Un quadrato ha più divisori congrui a uno modulo 4 o congrui a 3? Giustificare la riposta ;)
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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 01 feb 2006, 11:59

consideriamo $ a^2\equiv1\pmod{3} $ e $ a^2\equiv1\pmod{4} $
ma $ a^2=(a-1)(a+1) $. Quindi la risposta è che è più probabile che un quadrato abbia più divisori congrui a modulo 3.

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thematrix
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Messaggio da thematrix » 01 feb 2006, 15:25

EUCLA ha scritto:consideriamo $ a^2\equiv1\pmod{3} $ e $ a^2\equiv1\pmod{4} $
ma $ a^2=(a-1)(a+1) $. Quindi la risposta è che è più probabile che un quadrato abbia più divisori congrui a modulo 3.
Scusa,ma non ho capito due cose:
-il testo parla di residui modulo 4...cosa c'entrano quelli modulo 3?
-$ a^2 = (a+1)(a-1) $ ???
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moebius
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Messaggio da moebius » 01 feb 2006, 17:27

... tra le altre cose, ammesso che sia un typo, a me risulta il contrario...
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Gauss_87
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Testo del Problema

Messaggio da Gauss_87 » 02 feb 2006, 17:37

Il Testo dice:
Un quadrato ha più divisori congrui a uno modulo 4 o congrui a 3? Giustificare la riposta.

Si intende più divisori congrui a 1 in modulo 4 e divisori congrui a 1 in modulo 3 oppure divisori congrui a 1 modulo 4 e divisori congrui (cioè congrui a 0) modulo 3???

Grazie

Ciao
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 02 feb 2006, 18:33

scusate avevo proprio letto male :roll:

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Boll
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Messaggio da Boll » 05 feb 2006, 22:03

Si chiede se sono più i divisori conguri a 1 modulo 4 o quelli congrui a 3 modulo 4
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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 05 feb 2006, 22:54

Ma che domanda è?! Ci sono quadrati che hanno soli divisori $\equiv 1 \bmod 4$; né più né meno, non lo so, che ne hanno esclusivamente di $\equiv 3 \bmod 4$; certuni che ne hanno tanti di un tipo quanti dell'altro; taluni, infine, che non ne hanno né dell'uno né dell'altro. :shock:

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Boll
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Messaggio da Boll » 06 feb 2006, 14:56

Euler, citami un esempio di quadrato con soli divisori congrui a tre modulo 4, considerando anche che $ 1|n $ $ \forall n\in \mathbb{N} $...
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moebius
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Messaggio da moebius » 06 feb 2006, 17:58

HiTLeuLeR ha scritto:Ma che domanda è?! Ci sono quadrati che hanno soli divisori $\equiv 1 \bmod 4$; né più né meno, non lo so, che ne hanno esclusivamente di $\equiv 3 \bmod 4$; certuni che ne hanno tanti di un tipo quanti dell'altro; taluni, infine, che non ne hanno né dell'uno né dell'altro. :shock:
Il delirio abita qui.... :D
Sarei curioso pure io di vederne uno con più divisori congrui a tre modulo quattro :D
Leggi bene: divisori non divisori primi....
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Messaggio da psion_metacreativo » 07 feb 2006, 11:04

moebius ha scritto: Leggi bene: divisori non divisori primi....
In realtà la questione non ha senso in ogni caso perchè:

$ A=\left\{n\in\mathbb{N}:\ \exists a\in\mathbb{N}\ (n|a^{2}\ \wedge\ n\equiv1\ (mod\ 4))\right\} $
$ B=\left\{n\in\mathbb{N}:\ \exists a\in\mathbb{N}\ (n|a^{2}\ \wedge\ n\equiv1\ (mod\ 4)\ \wedge\ n\in\mathfrak{P})\right\} $
$ C=\left\{n\in\mathbb{N}:\ \exists a\in\mathbb{N}\ (n|a^{2}\ \wedge\ n\equiv3\ (mod\ 4))\right\} $
$ D=\left\{n\in\mathbb{N}:\ \exists a\in\mathbb{N}\ (n|a^{2}\ \wedge\ n\equiv3\ (mod\ 4)\ \wedge\ n\in\mathfrak{P})\right\} $

Sono tutti equipotenti e hanno cardinalità $ \aleph_{0} $. Questo ammesso che tu volessi un confronto tra le cardinalità di qualcuno degli insiemi precedenti.

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Messaggio da moebius » 07 feb 2006, 20:17

Eppure la domanda, a me, è sembrata chiara...
Prendi un quadrato a caso: questo ha più divisori congrui a 3 modulo 4 o a 1 modulo 4?
Volendo dargli una parvenza di rigore: sia x un quadrato perfetto: x ha più divisori congrui a 3 modulo 4 o a 1 modulo 4?
E' chiaro adesso?
Ultima modifica di moebius il 07 feb 2006, 21:16, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da post233 » 07 feb 2006, 20:26

moebius ha scritto:sia x un quadrato perfetto: x ha più divisori congrui a 3 modulo 4 che a 1 modulo 4.
Semmai il contrario...
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moebius
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Messaggio da moebius » 07 feb 2006, 21:15

Mi ero scordato un "?"... Hai letto mentre correggevo :oops:
Stavo solo riformulando la domanda, pure io la penso come te :D
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Messaggio da EvaristeG » 08 feb 2006, 01:13

Ragazzi, che confusione state mettendo in piedi?
Allora, che euler abbia detto sciocchezze s'è già appurato ... psion, attento, la domanda non è il confronto tra le cardinalità di quegli insiemi.
Se volete scrivere tutto con i per ogni e gli esiste, potete provare così :
dato $ k\in\mathbb{N} $ si definiscono
$ A(k^2)=\{n\in\mathbb{N}\mid\ n|k^2\textrm{ e } n\equiv1\mod 4\} $
$ B(k^2)=\{n\in\mathbb{N}\mid\ n|k^2\textrm{ e } n\equiv3\mod 4\} $
La domanda è : chi ha più elementi tra A e B? Ovviamente, nulla dice, sinora, che la risposta sia indipendente da k ... nulla, a parte il come è formulata la domanda, nega che ci siano k per cui |A|>|B| e k per cui avviene il contrario.

Gli insiemi che hai definito tu, psion, sono quelli degli n che dividono un qualche quadrato e sono congrui a 1 o 3 mod 4 ...

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