Ogni coppia (p,q) di primi t.c. p^2 - p + 1 = q^3

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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HiTLeuLeR
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Ogni coppia (p,q) di primi t.c. p^2 - p + 1 = q^3

Messaggio da HiTLeuLeR » 30 dic 2005, 23:40

Determinare ogni coppia $ (p,q) $ di primi naturali tale che $ p^2 - p + 1 = q^3 $.

NOTA: bello, davvero molto bello! E nemmeno troppo banale, sì. Btw l'autore del problema è A. Golovanov (ovviamente russo, c'è da chiederlo?!). Enjoy yourselves! :wink:

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jordan
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Messaggio da jordan » 02 mag 2009, 04:14

$ p^3+1=q^3(p+1) \ge 3q^3 > 2q^3+1 \implies p>q $. Adesso $ p(p-1)=(q-1)(q^2+q+1) $. Per cui $ p|q^2+q+1=kp, k \in \mathbb{N}_0 $ e $ p-1=k(q-1) $.
Ma, definito $ \Delta $ il discriminante di $ q^2+(1-k^2)q+(k^2-k+1) $ vale la disuguaglianza $ (k^2-3)^2 \le \Delta < (k^2-1)^2 $.
Da qui è facile concludere che l'unica soluzione viene da $ k=3 $ da cui $ (p,q)=(19,7) $.
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 02 mag 2009, 10:55

@ jordan: sei il + grande necrofilo ke abbia mai conosciuto! :D
MIND TORNA CON NOI

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