Ultimo problema di divisibilita' :p

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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ReKaio
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Ultimo problema di divisibilita' :p

Messaggio da ReKaio » 02 dic 2005, 19:21

poi smetto, tanto non piacciono a nessuno :p

dimostrare che

$ \forall n \in \mathbb N \ \ \ \ n \ge 2 \ \ \ \ \ (n-1)^2|n^{n-1}-1 $
_k_

Giggles
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Messaggio da Giggles » 02 dic 2005, 20:19

mmmh, scompongo il termine a destra in $ (n-1)(n^{n-2} + n^{n-3} + ... + 1) $, così mi riduco a dimostrare che $ n-1|(n^{n-2} + n^{n-3} + ... + 1) $, anzi, meglio, $ n|(n+1)^{n-1} + (n+1)^{n-2} + ... + 1) $. Ora, chiaramente $ (n+1)^k $ è congruo a 1 mod n, basta svilupparlo come un binomio di Newton per vederlo. Quindi modulo n, tutti i termini a destra nell'ultima espressione sono congrui a 1. Essendo questi in numero di n, la loro somma è congrua a zero modulo n. QED
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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 20 dic 2005, 08:42

Siano $ p $ un primo ed $ \alpha = v_p(n-1) > 0 $. Allora $ v_p(n^k - 1) \ge \alpha + v_p(k) $. Pertanto $ v_p(n^{n-1} - 1) \ge 2\alpha $, q.e.d.
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 28 dic 2005, 08:22, modificato 1 volta in totale.

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 20 dic 2005, 17:50

HiTLeuLeR ha scritto:Siano $ p $ un primo ed $ \alpha = v_p(n-1) $. Allora $ v_p(n^k - 1) \ge \alpha \cdot v_p(k) $. Pertanto $ v_p(n^{n-1} - 1) \ge 2\alpha $, q.e.d.
Mmm sei sicuro? Forse intendevi $ v_p(n^k - 1) \ge \alpha + v_p(k) $ ma è vero solo nel caso in cui $ \alpha>0 $ (come controesempio della tua affermazione prendi $ p=2 $, $ n=5 $, $ k=4 $)

Spider
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Messaggio da Spider » 20 dic 2005, 21:21

Simo_the_wolf ha scritto: Mmm sei sicuro? Forse intendevi $ v_p(n^k - 1) \ge \alpha + v_p(k) $ ma è vero solo nel caso in cui $ \alpha>0 $ (come controesempio della tua affermazione prendi $ p=2 $, $ n=5 $, $ k=4 $)
Ma soprattutto, perché usare i cannoni per uccidere le zanzare? :roll:
Mi pare che la soluzione di Giggles fosse sufficientemente chiara...

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Messaggio da HiTLeuLeR » 28 dic 2005, 08:20

Simo_the_wolf ha scritto:Forse intendevi $ v_p(n^k - 1) \ge \alpha + v_p(k) $ ma è vero solo nel caso in cui $ \alpha>0 $
Hai ragione su entrambe! Il fatto è che, il giorno in cui ho postato la soluzione, il server dell'unipi mi è improvvisamente andato in panne. Perciò non ho avuto neppure il modo... di sistemare certi dettagli. Ramanujan docet! :roll: In ogni caso provvedo subito.

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