stima di produttorie

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mario86x
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stima di produttorie

Messaggio da mario86x » 12 nov 2005, 16:47

...non so proprio inventare un titolo decente...

Siano $ p_1, p_2, ... p_n $ n > 2 primi distinti. Dimostrare che:

$ \prod_{i=1}^n (p_i)-\prod_{i=1}^n (p_i-1) > 2^n $

lordgauss
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Re: stima di produttorie

Messaggio da lordgauss » 12 nov 2005, 23:40

Oddio come è antipatico mario...

Se i primi sono dispari la disug vale per $ n = 2 $. Infatti $ p_1p_2 - (p_1-1)(p_2-1) = p_1 + p_2 -1 > 4. $ Moltiplicando per $ 2^{n-2} $, distribuendo, e facendo le dovute maggiorazioni abbiamo la tesi per ogni $ n>=3 $.

Ah, non credere che non abbia notato che in LHS abbiamo $ n $ e $ phi(n) $... non so tekkare chissà come si scrive...
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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 12 nov 2005, 23:45

Wlog, siano p_1 < p_2 < \ldots < p_n. Risulta LHS > \prod_{i=2}^n p_i. Eppure p_2 \ge 3 > 2 e p_i > 4, per ogni i = 3, 4, \ldots, n. Dunque LHS > 2^{2n-3}, e quindi la tesi, siccome 2n-3 \ge n, se n \ge 3.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 13 nov 2005, 01:32

So che è off topic, ma non mi trattengo ... hitleuler, per carità, usa i tag tex, i tuoi post stanno diventando inguardabili (illeggibili lo erano già prima ...) e i mods non possono passare il tempo a sistemarti i post.

mario86x
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Messaggio da mario86x » 13 nov 2005, 01:44

e va beh lord, ma se hai freschi gli stessi problemi che faccio io...
Cmq giacchè ci sei nota cosa c'è in RHS

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 13 nov 2005, 13:47

Già che pirla... a destra c'è $ d(n) $ il numero di divisori...

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