Cum al dis al tétol,questa successione vi farà penar non poco...
2 3 6 1 8 6 8 4 8 4 8 3...
Come potete vedere é composta solo da numeri ad una cifra.
L'ennesimo numero é dato dalla formula F(n)=(F(n-1))(F(n-2)).Poiché si tenderebbe a raggiungere valori infiniti,se un numero raggiunge le due cifre vanno scritte separatamente,poi ciascuna delle due va moltiplicata normalmente.
Es.:6*3=18:scrivo separatamente 1 e 8 e moltiplico 6 per 1 e 1 per 8,ottenendo i due successivi termini della serie.
Questo successione, tratta da un libro di Steinhaus, presenta notevoli problemi.
1)Tenderà a stabilizzarsi su di una cifra?Dopo non molti numeri viene una lunga serie di 8,che si interrompe ad un tratto per fare posto ad una ancora più lunga di 4 e 6.
2)Chiamando G(n) la somma dei primi N termini,(G(n))/n tende ad un limite quando n tende ad infinito?
3)Chiamando T(n) il numero di volte con cui un termine compare nei primi n termini,(T(n))/n tende ad un limite quando n tende ad inf.?
Per ora é tutto,restituisco la linea allo studio.
Oblomov (l'occupato occupante)
Quast que l'é difezil
Quast que l'é difezil
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
Siccome è di Steinhaus...
i) *Non* esistono due termini consecutivi della sequenza $ \{F_n\}_{n\in\mathbb{N}_0} $ che siano entrambi eguali ad $ 1 $.
ii) Considerando che, in quanto primi, $ 31 $ e $ 13 $ non possono essere espressi in una forma fattorizzata del tipo $ F_n F_{n+1} $, si deduce quindi che le sottosequenze $ 3,1,3 $ ed $ 1, 3, 1 $ non sono coperte dalla successione.
iii) Si mostra che, se l'insieme $ \{n \in \mathbb{N}_0: F_n = 7 \mbox{ vel }F_n = 9\} $ è non vuoto, e dunque possiede un minimo $ \mu $, allora a forza $ \mu = 9 $.
iv) Con un po' di sforzo, usando la iv) e la v) insieme, si prova finalmente che $ 7 $ e $ 9 $ non figurano fra i termini della sequenza.
v) Si trova che, se l'insieme $ \{n \in \mathbb{N}_0: F_n = 0 \mbox{ vel }F_n = 5\} $ è non vuoto, e dunque possiede un minimo $ \rho $, allora a forza $ \rho = 5 $.
vi) Se ne deduce che debbono esistere $ n\in\mathbb{N}_0 $ ed $ a \in \{4, 6\} $ tali che $ F_n F_{n+1} = 50 + a $, riducendosi in ogni caso a un assurdo per via della iv).
vii) Si conclude che $ 0, 5, 7, 9 $ non figurano fra i termini della successione.
ii) Considerando che, in quanto primi, $ 31 $ e $ 13 $ non possono essere espressi in una forma fattorizzata del tipo $ F_n F_{n+1} $, si deduce quindi che le sottosequenze $ 3,1,3 $ ed $ 1, 3, 1 $ non sono coperte dalla successione.
iii) Si mostra che, se l'insieme $ \{n \in \mathbb{N}_0: F_n = 7 \mbox{ vel }F_n = 9\} $ è non vuoto, e dunque possiede un minimo $ \mu $, allora a forza $ \mu = 9 $.
iv) Con un po' di sforzo, usando la iv) e la v) insieme, si prova finalmente che $ 7 $ e $ 9 $ non figurano fra i termini della sequenza.
v) Si trova che, se l'insieme $ \{n \in \mathbb{N}_0: F_n = 0 \mbox{ vel }F_n = 5\} $ è non vuoto, e dunque possiede un minimo $ \rho $, allora a forza $ \rho = 5 $.
vi) Se ne deduce che debbono esistere $ n\in\mathbb{N}_0 $ ed $ a \in \{4, 6\} $ tali che $ F_n F_{n+1} = 50 + a $, riducendosi in ogni caso a un assurdo per via della iv).
vii) Si conclude che $ 0, 5, 7, 9 $ non figurano fra i termini della successione.
1) Sia dunque $ \{F_n\}_{n \geq 1} $ la successione in questione. Per assurdo, esista minimale un indice $ v \in \mathbb{N}_0 $ (btw, può supporsi $ v \geq 5 $) tale che $ F_n = c $, per ogni $ n \geq v $, dove $ c $ è una qualche cifra decimale. Allora a forza $ c^2 = c $ oppure $ c^2 = 10c + c $, e quindi $ c = 0 $, contro la vii), oppure $ c = 1 $, contro la i).Oblomov ha scritto: Questo successione, tratta da un libro di Steinhaus, presenta notevoli problemi.
1)Tenderà a stabilizzarsi su di una cifra?Dopo non molti numeri viene una lunga serie di 8,che si interrompe ad un tratto per fare posto ad una ancora più lunga di 4 e 6.