x^2+ y^2 + 1 = xyz ==> z=3

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mates
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x^2+ y^2 + 1 = xyz ==> z=3

Messaggio da mates » 21 ott 2005, 17:39

Dimostrare che se $ x,y,z $ sono interi positivi che soddisfano $ x^2 + y^2 + 1 = xyz $ allora $ z=3 $.

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 22 ott 2005, 19:11

Forza giovani solutori, fatevi sotto.
Francesco

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HarryPotter
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Soluzione...

Messaggio da HarryPotter » 24 ott 2005, 19:42

Allova...

Con semplici passaggi algebici abbiamo:

$ x(yz-1)=y^2+1 $

Anallizzando modulo y abbiamo che:

$ x\equiv 1 \pmod{y} $

Pertando considerando l'equazione iniziale modulo y, abbiamo che:

$ 2 \equiv 0 \pmod{y} $

da cui $ y = 1 \mbox{ oppure } 2 $.

Se $ y=1 $ allora $ x^2+2=xyz $ e questo per lo stesso ragionamento di prima effettuato modulo x ci porta a dire che $ x = 1 \mbox{ oppure } 2 $.

Questi due casi ci portano a soluzioni dove $ z=3 $.

Se $ y=2 $ allora $ x^2+5=xyz $ e questo per lo stesso ragionamento di prima effettuato modulo x ci porta a dire che $ x = 1 \mbox{ oppure } 5 $.

Anche questi due casi portano alla soluzione $ z=3 $.

Sgopn.

P.S. Sono convinto che la soluzione di HiTLeuLeR fosse più bella! :D

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Boll
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Re: Soluzione...

Messaggio da Boll » 24 ott 2005, 19:56

Ciao Claudio!!!
HarryPotter ha scritto:Allova...

Con semplici passaggi algebici abbiamo:

$ x(yz-1)=y^2+1 $
Mmh, a me risulta
$ x(yz-x)=y^2+1 $

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HarryPotter
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Messaggio da HarryPotter » 25 ott 2005, 20:58

:oops: :oops: :oops: :oops: :oops: :oops: :oops: :oops: :oops: :oops: ....

Dipende comunque da che sistema di assiomi e definizioni parti... :roll:

P.S. Mi ci sono scervellato sopra oggi, ma finora solo considerazioni "banali".

P.P.S. Domani è un altro giorno e si vedrà!

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 26 ott 2005, 16:24

Hint: $ \displaystyle \frac{x^2+y^2+1}{xy} =z $ con $ z $ intero

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