In Q: x^2 + y^2 + z^2 + 3(x+y+z) + 5 = 0

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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HiTLeuLeR
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In Q: x^2 + y^2 + z^2 + 3(x+y+z) + 5 = 0

Messaggio da HiTLeuLeR » 16 ott 2005, 22:30

Problema: determinare tutte le soluzioni in numeri razionali dell'eq. $ x^2 + y^2 + z^2 + 3(x+y+z) + 5 = 0 $.

Fonte: Azarus, dalle parti del canale #olimpiadi.

Azarus
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Messaggio da Azarus » 16 ott 2005, 23:21

Fonte, quella vera: Olimpiadi Bulgare, regional round, 1997

Spider
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Messaggio da Spider » 18 ott 2005, 20:26

Osserviamo che:

$ x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} $ (completamento del quadrato)

e applicando la stessa trasformazione alle altre incognite l'equazione diventa:

$ (x + \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 + (z + \frac{3}{2})^2 - \frac{7}{4} = 0 $

Ossia:

$ (2x + 3)^2 + (2y + 3)^2 + (2z + 3)^2 = 7 $

Posto $ a = 2x + 3, b = 2y + 3, c = 2z + 3 $, si ottiene l'equazione

$ a^2 + b^2 + c^2 = 7 $

D'altronde, essendo $ a $, $ b $ e $ c $ numeri razionali, possiamo moltiplicare entrambi i membri di quest'equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori, arrivando ad un'equazione del tipo:

$ r^2 + s^2 + t^2 = 7w^2 $

Con $ r, s, t, w $ numeri interi e $ w > 0 $. Dal momento che l'equazione è omogenea, possiamo limitarci a determinare le soluzioni in interi primi tra loro. Tuttavia, se $ w $ fosse dispari, allora $ w^2 \equiv 1 \pmod{8} $, ed è impossibile che $ r^2 + s^2 + t^2 \equiv 7 \pmod{8} $. Se invece $ w $ fosse pari, allora avremmo $ r^2 + s^2 + t^2 \equiv 0 \pmod{4} $, e ciò è possibile solo se anche $ r, s, t $ sono pari. Ma ciò contraddice l'ipotesi che le incognite siano numeri coprimi. Di conseguenza l'ultima equazione non è risolvibile, e allora non lo è neanche quella del testo.

Ciao!
Salvatore

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Messaggio da HiTLeuLeR » 19 ott 2005, 12:15

Spider ha scritto:[...] Di conseguenza l'ultima equazione non è risolvibile, e allora non lo è neanche quella del testo.
Se per "ultima equazione" intendi la diofantea $ r^2 + s^2 + t^2 = 7w^2 $, allora la tua conclusione è sbagliata, ché questa possiede come soluzione (unica!) la quaterna $ (r,s,t,w) = (0,0,0,0) $. Il resto è ineccepibile, buon per te!

Spider
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Messaggio da Spider » 19 ott 2005, 19:34

HiTLeuLeR ha scritto: Se per "ultima equazione" intendi la diofantea $ r^2 + s^2 + t^2 = 7w^2 $, allora la tua conclusione è sbagliata, ché questa possiede come soluzione (unica!) la quaterna $ (r,s,t,w) = (0,0,0,0) $. Il resto è ineccepibile, buon per te!
Dimentichi che avevo supposto $ w > 0 $ :wink:

Spider

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Messaggio da HiTLeuLeR » 19 ott 2005, 20:16

Sì, giusto, adesso lo vedo! :roll:

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