Diofantea polacca xy=(x-y)^n

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Simo_the_wolf
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Diofantea polacca xy=(x-y)^n

Messaggio da Simo_the_wolf » 08 ott 2005, 18:52

Risolvere per $ x,y,n $ interi positivi:

$ xy=(x-y)^n $

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jim
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Messaggio da jim » 09 ott 2005, 14:49

dunque
$ x\not=\ y $
poichè altrimenti si annulla il secondo membro.

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jim
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Messaggio da jim » 09 ott 2005, 15:08

scusate ho sbagliato a cliccare :oops: :oops:

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frengo
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Messaggio da frengo » 09 ott 2005, 16:19

i) supponiamo $ (x;y)=1 $
sarebbe quindi $ (x;x-y)=1 $ e $ (y;x-y)=1 $, ma sia x che y devono dividere $ (x-y)^n $ e quindi $ x=y=1 $. sostituendo, si vede che questa coppia non soddisfa l'equazione.

ii) supponiamo $ (x;y)=d>1 $, e quindi $ x=Xd $ e $ y=Yd $, con $ (X;Y)=1 $.
Riscriviamo l'equazione:
$ XYd^2=d^n(X-Y)^n $
$ XY=(X-Y)^n d^{n-2} $
Dato che(come prima) $ (X;X-Y)=1 $ e $ (Y;X-Y)=1 $, $ |X-Y|=1 $ (il segno dipende da n) quindi X e Y sono due interi consecutivi(poniamo z e z+1). Nell'equazione rimane
$ z(z+1)=d^{n-2} $
Dato che z e z+1 sono primi tra loro, devono essere tutti e due delle potenze (n-2)-esime, quindi n-2=1, n=3.
A questo punto ritornando a prima sappiamo che $ X-Y=1 $, quindi $ Y=X+1 $, e $ d=X(X+1) $.
Ritornando all'equazione originaria con $ x=X^2(X-1) $e $ y=X(X-1)^2 $, si vede che per ogni $ X>1 $ la coppia $ (X^2(X-1);X(X-1)^2) $ è soluzione per $ n=3. $

khristian
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Messaggio da khristian » 10 ott 2005, 16:51

frengo ha scritto: Nell'equazione rimane
$ z(z+1)=d^{n-2} $
Dato che z e z+1 sono primi tra loro, devono essere tutti e due delle potenze (n-2)-esime, quindi n-2=1, n=3.
Non capisco perchè? Me lo potresti spiegare?

Grazie.

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 17 ott 2005, 15:49

khristian ha scritto:
frengo ha scritto: Nell'equazione rimane
$ z(z+1)=d^{n-2} $
Dato che z e z+1 sono primi tra loro, devono essere tutti e due delle potenze (n-2)-esime, quindi n-2=1, n=3.
Non capisco perchè? Me lo potresti spiegare?

Grazie.
Ok, Abbiamo che $ z(z+1)=d^k $ con $ k\geq1 $. Noi sappiamo che, essendo $ z $ e $ z+1 $ coprimi dovrà essere $ z=a^k $ e $ z+1=b^k $ con $ ab=d $. Infatti detto $ p $ un qualunque primo che divide $ z $ abbiamo che $ p $ non divide $ z+1 $ ma divide $ d^k $ quindi in $ z $ deve avere un esponente multiplo di $ k $. Abbastanza chiaro?( P.S.:Questo detto finora vale anche se al posto di $ z $ e $ z+1 $ ci fossero stati $ x $ e $ y $ coprimi tra loro)

Ora abbiamo che:

$ a^k+1=b^k $ con $ k\geq1 $ e quindi, o $ a=0 $ e $ b=1 $ e $ k $ qualsiasi altrimenti non esistono due potenze $ k $-esime consecutive con $ k>1 $ e quindi per forza $ k=1 $.

Tutto ok? se c'è ancora qualcosa che non si capisce dimmi! :D

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