OliForum Matematico

Trovare tutte le soluzioni intere per
$ y^2=x^4+x+7 $

Supponiamo per ora $ x > 2 $; allora vale:

$ (x^2)^2 < x^4 + x + 7 < (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 $

dove la prima disuguaglianza è ovvia e la seconda si verifica facilmente. Dunque non ci sono soluzioni per $ x > 2 $, dato che un quadrato perfetto non può essere strettamente compreso tra due quadrati cosecutivi; perciò $ x \leq 2 $.

Supposto invece $ x < -7 $ si verifica facilmente che

$ (x^2)^2 > x^4 + x + 7 > (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1 $

e, per lo stesso ragionamento di prima, non ci sono soluzioni. Perciò $ -7 \leq x \leq 2 $, e di qui si verifica facilmente per tentativi che le uniche soluzioni sono le coppie $ (-7, \pm49), (1, \pm3), (2, \pm5) $

Ciao,
Salvatore