$ \displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{p} $
Poniamo $ a=p+c $ e $ b=p+d $, sostituendo la diofantea si presenta nella forma $ cd=p^2 $, i casi sono tre:
1) $ c=d=p $
2) $ c=p^2 $ e $ d=1 $
3) $ d=p^2 $ e $ c=1 $
Le soluzioni sono pertanto tutte le coppie $ (2p,2p) $ $ p^2+p,p+1 $ e $ p+1,p^2+p $
Febbraio non ricordo l' anno
Lafforgue, nota soltanto che *tu* hai limitato la tua ricerca delle soluzioni all'equazione proposta nell'insieme degli interi positivi. La traccia chiede invece di determinare tutte le possibili soluzioni in interi non nulli... Pertanto capisci bene che c'è ancora un po' di lavoro da fare!
Per simmetria, possiamo ammettere in prima istanza $ a \equiv 0 \bmod p $. Esiste allora $ k\in\mathbb{Z}_0 $ t.c. $ a = pk $, e da qui $ \displaystyle\frac{1}{b} = \frac{k-1}{pk} $. Se $ p \nmid (k-1) $, questo implica $ k = 2 $ ed $ a = b = 2p $. Se invece $ p \mid (k-1) $, posto $ k = pt + 1 $, con $ t\in\mathbb{Z}_0 $, si trova $ b = 1 \pm p $ ed $ a = (1\pm p)\cdot p $. Considerando poi che, fissato $ p\in\mathfrak{P} $, la coppia $ (a,b) $ è soluzione dell'equazione proposta sse la stessa condizione è pure soddisfatta dalla coppia simmetrica $ (b,a) $, non è retorico affermare che le conclusioni sono già tutte lì.
