Dimostrare che da un certo $ n_0 $ in poi valgono:
1) $ n\left((n+1)^{1/n}-1\right) < 1+1/2+...+1/n $
2) $ n\left((n+1)^{1/n}-1\right) > 1/2+...+1/n $
0<gamma<1
Re: 0<gamma<1
ho una dimostrazione del primo molto carina...
1) $ n\left((n+1)^{1/n}-1\right) < 1+1/2+...+1/n $
$ n(n+1)^{1/n}-n < 1+1/2+...+1/n $
$ n(n+1)^{1/n} < (1+1)+(1/2+1)+...+(1/n+1) $
$ n(n+1)^{1/n} < 2/1+3/2+...+(n+1)/n $
$ (n+1)^{1/n} < \frac{2/1+3/2+...+(n+1)/n}{n} $
che è vera per AM-GM per tutti gli n>1 (altrimenti si avrebbe l'uguaglianza)
per la seconda ho una mezza idea, ma ora non ho tempo, ci ritornerò.
Ciao ciao
1) $ n\left((n+1)^{1/n}-1\right) < 1+1/2+...+1/n $
$ n(n+1)^{1/n}-n < 1+1/2+...+1/n $
$ n(n+1)^{1/n} < (1+1)+(1/2+1)+...+(1/n+1) $
$ n(n+1)^{1/n} < 2/1+3/2+...+(n+1)/n $
$ (n+1)^{1/n} < \frac{2/1+3/2+...+(n+1)/n}{n} $
che è vera per AM-GM per tutti gli n>1 (altrimenti si avrebbe l'uguaglianza)
per la seconda ho una mezza idea, ma ora non ho tempo, ci ritornerò.
Ciao ciao
Poniamo $ \displaystyle x_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} $, per ogni intero $ n\geq 2 $. Allora (nelle stesse condizioni): $ (n+1)^{1/n} - 1 > \displaystyle\frac{x_{n+1}}{n - x_{n+1}} $, by GM-HM inequality. Basta perciò dimostrare che: $ \displaystyle\frac{x_{n+1}}{n - x_{n+1}} > \frac{x_n}{n} $, e questo è un fatto (si direbbe!) banale.Paoloca ha scritto:Dimostrare che, da un certo $ n_0 $ in poi [...]: 2) $ n\left((n+1)^{1/n}-1\right) > 1/2+...+1/n $