0<gamma<1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Paoloca
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0<gamma<1

Messaggio da Paoloca » 07 set 2005, 10:52

Dimostrare che da un certo $ n_0 $ in poi valgono:



1) $ n\left((n+1)^{1/n}-1\right) < 1+1/2+...+1/n $



2) $ n\left((n+1)^{1/n}-1\right) > 1/2+...+1/n $

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frengo
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Re: 0<gamma<1

Messaggio da frengo » 12 set 2005, 18:07

ho una dimostrazione del primo molto carina...

1) $ n\left((n+1)^{1/n}-1\right) < 1+1/2+...+1/n $


$ n(n+1)^{1/n}-n < 1+1/2+...+1/n $

$ n(n+1)^{1/n} < (1+1)+(1/2+1)+...+(1/n+1) $

$ n(n+1)^{1/n} < 2/1+3/2+...+(n+1)/n $

$ (n+1)^{1/n} < \frac{2/1+3/2+...+(n+1)/n}{n} $

che è vera per AM-GM per tutti gli n>1 (altrimenti si avrebbe l'uguaglianza)

per la seconda ho una mezza idea, ma ora non ho tempo, ci ritornerò.

Ciao ciao

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 12 set 2005, 22:42

Paoloca ha scritto:Dimostrare che, da un certo $ n_0 $ in poi [...]: 2) $ n\left((n+1)^{1/n}-1\right) > 1/2+...+1/n $
Poniamo $ \displaystyle x_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} $, per ogni intero $ n\geq 2 $. Allora (nelle stesse condizioni): $ (n+1)^{1/n} - 1 > \displaystyle\frac{x_{n+1}}{n - x_{n+1}} $, by GM-HM inequality. Basta perciò dimostrare che: $ \displaystyle\frac{x_{n+1}}{n - x_{n+1}} > \frac{x_n}{n} $, e questo è un fatto (si direbbe!) banale.

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