primi del tipo 4n+1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
alberto
Messaggi: 197
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: milano

primi del tipo 4n+1

Messaggio da alberto » 26 ago 2005, 10:09

dare una dimostrazione elementare che esistono infiniti primi del tipo 4n+1.
(non frequento il forum da anni, quindi chiedo scusa se il problema fosse stato postato recentemente)

p.s. per completezza potete dimostrare che ne esistono infiniti della forma 4n+3 (+ facile)

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 26 ago 2005, 11:11

alberto ha scritto:dare una dimostrazione elementare che esistono infiniti primi del tipo 4n+1.
Giusto di recente info ha dimostrato (ancora per via elementare!) un risultato decisamente più generale, ossia che, per ogni intero $ n \geq 0 $, esistono infiniti primi naturali $ p \equiv 1 \bmod 2^n $ (click). Of course, quest'è più che sufficiente per rispondere alla prima delle tue richieste. In quanto all'altra...
alberto ha scritto:p.s. per completezza potete dimostrare che ne esistono infiniti della forma 4n+3
L'insieme $ \mathcal{P} = \{p\in\mathfrak{P}: p \equiv 3 \bmod 4\} $ è obviously not empty, ché $ 3\in \mathcal{P} $. Per assurdo, ammettiamo sia quindi $ |\mathcal{P}| < +\infty $, i.e. ch'esistano un numero finito (non nullo) di primi naturali della forma $ 4n+3 $. Poniamo di conseguenza $ Q = 4\cdot\prod_{p \in \mathcal{P}} p - 1 $. Chiaramente $ Q $ è un dispari intero $ > 1 $. Per il teorema fondamentale dell'Aritmetica, può porsi allora, e univocamente (a meno di riarrangiamenti): $ Q = \prod_{t=1}^{r} q_t^{\alpha_t} $, dove $ r, \alpha_1, \alpha_2, \ldots,\alpha_r\in\mathbb{N}_0 $ e $ q_1, q_2, \ldots, q_r $ sono numeri primi di $ \mathbb{N} $ a due a due distinti. Osserviamo quindi che, per ogni $ p\in\mathcal{P} $: $ p \nmid Q $, siccome $ Q \equiv -1 \bmod p $. E allora (per coerenza con le ipotesi) $ q_i \equiv 1 \bmod 4 $, per ogni $ t = 1, 2, \ldots r $, e perciò $ -1 \equiv Q \equiv 1 \bmod 4 $, che è assurdo! La contraddizione nasce dall'aver supposto $ |\mathcal{P}| < +\infty $. So the claim follows...

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 26 ago 2005, 12:06

alberto ha scritto:dare una dimostrazione elementare che esistono infiniti primi del tipo 4n+1.
In alternativa... L'insieme $ \mathcal{P} = \{p\in\mathfrak{P}: p \equiv 1 \bmod 4\} $ è ovviamente non vuoto, ché $ 5\in \mathcal{P} $. Per assurdo, ammettiamo sia quindi $ |\mathcal{P}| < +\infty $, i.e. ch'esistano un numero finito (non nullo) di primi naturali della forma $ 4n+1 $. Poniamo di conseguenza $ Q = \left(2\cdot\prod_{p \in \mathcal{P}} p\right)^{\!2} + 1 $. Chiaramente $ Q $ è un dispari intero $ > 1 $. Per il teorema fondamentale dell'Aritmetica, può porsi allora, e univocamente (a meno di riordinamenti): $ Q = \prod_{t=1}^{r} q_t^{\alpha_t} $, dove $ r, \alpha_1, \alpha_2, \ldots,\alpha_r\in\mathbb{N}_0 $ e $ q_1, q_2, \ldots, q_r $ sono numeri primi di $ \mathbb{N} $ a due a due distinti. Osserviamo quindi che, per ogni $ p\in\mathcal{P} $: $ p \nmid Q $, siccome $ Q \equiv 1 \bmod p $. E allora (per coerenza con le ipotesi) $ q_i \equiv 3 \bmod 4 $, per ogni $ t = 1, 2, \ldots r $, e perciò $ Q-1 \equiv -1 \bmod q_1 $. Senonché $ Q-1 $ è un quadrato perfetto, e di conseguenza $ -1 $ è un residuo quadratico $ \bmod\; q_1 $. Il che è assurdo, siccome notoriamente $ -1 $ *non* è residuo quadratico dei primi della forma $ 4n+3 $. Ne fa seguito la tesi...

Avatar utente
enomis_costa88
Messaggi: 537
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Brescia

Re: primi del tipo 4n+1

Messaggio da enomis_costa88 » 26 ago 2005, 22:36

alberto ha scritto: dimostrare che ne esistono infiniti della forma 4n+3 (+ facile)
andrebbero forse bene queste 2 (già presenti in questo indirizzo circa a metà pagina.. http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... 33&start=0 )?

si potrebbe usare Dirichlet.. e concludere subito.

Elegantemente:
siano i numeri primi nella forma 4n+3 finiti(si verifica facilmente che non può essere un'insieme vuoto..considerando il 3 o il 7 per esempio):
sia $ \prod p_k = P $ il prodotto dei numeri primi $ \equiv 3 mod 4 $ .
Siano $ p_k $ i primi $ \equiv 3 (mod 4) $.

Se $ P \equiv 1 (mod 4) $ allora $ P+2 \equiv 3 (mod 4) $ e $ P+2 \equiv 2(mod p_k) $ qualsiasi k.
Si verifica facilmente (se contenesse solo 1 o 2 il risultato sarebbe 1 o 2 o 0) che la scomposizione di P+2 deve contenere un numero primo $ \equiv 3 (mod 4) $ che è assurdo per quanto appena detto.

Se $ P \equiv 3 (mod 4) $; $ P+4 \equiv 1;4 (mod p_k) $ qualsiasi k. Analogamente a prima la scomposizione di P+4 è assurda. Da cui la tesi.

Buona serata Simone.

fur3770

Messaggio da fur3770 » 26 ago 2005, 22:50

piccolo OT: ma come cazzo dimostra sto hitleuler? io non ci capisco nulla

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggio da HiTLeuLeR » 27 ago 2005, 08:53

In quanto al commento sullo stile dimostrativo, beh... che posso dire? A ciascuno il suo! In quanto al resto, invece... Ho fiducia nei moderatori. :?

fur3770

Messaggio da fur3770 » 27 ago 2005, 12:16

confondi le idee alla gente

Rispondi