Se 4x^2 + n è primo per ogni x = 0, 1, ..., n-1, allora...
Se 4x^2 + n è primo per ogni x = 0, 1, ..., n-1, allora...
Problema: determinare ogni intero $ n \geq 1 $ tali che $ 4x^2 + n $ sia un numero primo per ogni $ x = 0, 1, \ldots, n-1 $.
prima di tutto osservo che se n non è primo, $ n+4*0^2 $ non sarà primo contraddicendo le ipotesi, quindi posso supporre n primo.
provo i casi banali e scomodi: $ n=2 $, che mi genera 2 e 6, quindi niente di fatto.
$ n=3 $ che genera $ 3, 7, 11 $, quindi va bene.
$ n=5 $ che genera $ 5, 9, 21, 41, 69 $, decisamente no.
$ n=7 $ che genera $ 7, 11, 23, 43, 71, 107, 151 $ e lo posso mettere nel carniere delle soluzioni.
ora, prendendo $ p>7 $, non soddisfa le ipotesi alcun primo $ p \equiv -1 (mod 6) $, perché scegliendo $ x = 1 $ si ottiene $ p+4x^2 \equiv 3 (mod 6) $, un multiplo di 3.
$ p \equiv 1 (mod 6) $ devo scoprire come gestirla.
provo i casi banali e scomodi: $ n=2 $, che mi genera 2 e 6, quindi niente di fatto.
$ n=3 $ che genera $ 3, 7, 11 $, quindi va bene.
$ n=5 $ che genera $ 5, 9, 21, 41, 69 $, decisamente no.
$ n=7 $ che genera $ 7, 11, 23, 43, 71, 107, 151 $ e lo posso mettere nel carniere delle soluzioni.
ora, prendendo $ p>7 $, non soddisfa le ipotesi alcun primo $ p \equiv -1 (mod 6) $, perché scegliendo $ x = 1 $ si ottiene $ p+4x^2 \equiv 3 (mod 6) $, un multiplo di 3.
$ p \equiv 1 (mod 6) $ devo scoprire come gestirla.
_k_
Se $ p $ è un primo naturale $ > 2 $, allora: $ \displaystyle\prod_{k=1}^{p-1} (p + 4k^2) \equiv \prod_{k=1}^{p-1} 4k^2 \equiv 4^{p-1} \cdot [(p-1)!]^2 \equiv 1 \bmod p $, ché infatti $ 4^{p-1} \equiv 1 \bmod p $, per il piccolo teorema di Fermat; e $ (p-1)! \equiv -1 \bmod p $, in base al teorema di Wilson.Boll ha scritto:[...] poi ho "scoperto" che $ (p+4*1^2)(p+4*2^2)\dots(p+4*(p-1)^2)\equiv 1 \medskip \mod p $, se ti può essere utile... Lascio ad altri il piacere di dimostrarlo
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Decan
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Mah, io l’ho fatto, anche se non è molto elegante… chiedo scusa se la dimostrazione è lunga. Comunque ecco come si svolge, a grandi linee:
1. n deve essere primo; a parte 3, altre eventuali soluzioni saranno congrue 1 mod 6
2. questi altri n sono della forma 30b+7 o 30b+13, con $ $b \in N $ $
3. si riducono a quelli della forma 60c+7 o 60c+43, con $ $c \in N $ $
4. la forma 60c+7 dà come soluzione solo 7
5. la forma 60c+43 non dà soluzioni
1) Se n non fosse primo le condizioni non sarebbero rispettate per x=0; si può verificare che n=2 non è una soluzione, ma n=3 sì; tutti gli altri numeri primi sono della forma 6a-1 o 6a+1, ma con x=1 la prima darebbe un'espressione 4+6a-1=6a+3=3(2a+1), che non è mai un numero primo in quanto a>=1;
2) i numeri primi della forma 6n+1 sono maggiori di 5 e terminano con una delle cifre 1, 3, 7, 9: ma se n terminasse per 1 con x=1 si avrebbe un numero che termina per 5, quindi multiplo di 5 (ma non è possibile che sia proprio 5, perché n>5 e la succesione 4x^2+n è strettamente crescente); stesso risultato se n termina per 9 con x=2. Bisogna perciò che $ $ n \equiv 1 \pmod{6} $ $ e che $ $ n \equiv 3 $ o $ 7 \pmod{10} $ $ . La faccenda si risolve con due sistemi di congruenze da cui $ $ n \equiv 7 \pmod{30} $ $ oppure $ $ n \equiv 13 \pmod{30} $ $
3) per n=30b+7 poniamo b è dispari e prendiamo x=(15b+3)/2 (si può verificare che con b non negativo non è mai maggiore di n-1). Con qualche passaggio si ottiene che l'espressione risultante è un quadrato perfetto, e precisamente $ $(15b+4)^2 $ $, perciò non è un primo;
b sarà necessariamente pari: n è perciò della forma 60c+7, con $ $c \in N $ $.
per n=30b+13 poniamo b è pari e prendiamo x=(15b+6)/2 (come sopra). Si ottiene ancora un quadrato perfetto: (15b+7)^2. In questo caso allora b è necessariamente dispari, perciò n è della forma 60c+43.
4) analizzo ora la forma n=60c+7:
per c=0 si ha n=7 che è una soluzione; tratto ora c positivo.
Provo innanzitutto ad eguagliare l'espressione generica ad un quadrato perfetto meno uno (y^2-1):
$ $ 4x^2+60c+7=y^2-1 $ $
che si trasforma con alcuni passaggi in:
$ $ 4(15c+2)=(y-2x)(y+2x) $ $
ponendo y-2x=4 e y+2x=15c+2 (cioè il minore con il minore e il maggiore con il maggiore) si ottiene $ $ y= (15c+6)/2 $ $ e $ $ x= (15c-2)/4 $ $, entrambi interi positivi se c è congruo 2 mod 4 (x è sempre minore di n, come vuole la traccia). Per il valore di x così trovato, quindi, l'espressione 4x^2+n può essere scritta come y^2-1=(y-1)(y+1), e si può verificare che per nessun valore di c y-1 è uguale ad 1: perciò l'espressione è un numero composto qualunque sia $ $ c \equiv 2 \pmod{4}$ $
Trattando in modo analogo l'uguaglianza $ $ 4x^2+60c+7=y^2-9=(y-3)(y+3) $ $ si ha $ $ y= (15c+8)/2 $ $ e $ $ x= 15c/4 $ $, entrambi interi positivi se c è congruo 0 mod 4 (x è sempre minore di n). E ancora una volta nessun valore positivo di c può dare la prima parentesi uguale ad 1, perciò il numero 4x^2+n è un numero composto qualunque sia $ $ c \equiv 0 \pmod{4}$ $.
Ora ecco un altro 'stratagemma'. Scrivo il numero $ $ 4x^2+60c+7$ $ come $ $ 4(15c+2)+(2x-1)(2x+1) $ $ e provo a mettere 15c+2=2x-1. Ottengo x=(15c+3)/2, intero (sempre positivo e minore di n) per ogni c dispari. Se c è dispari, allora, per quel valore di x l'espressione diventa: $ $ (15c+2)(15c+8) $ $ , composto qualunque sia il valore di c. Quindi anche c dispari è da scartare.
5)il caso n=60c+43 si analizza in un modo simile a sopra, ma ammettendo che c può anche essere 0 (ne faccio un riassunto):
-eguagliando l'espressione a y^2-1 si eliminano le c congrue 3 mod 4;
-eguagliandola a y^2-9 si eliminano le c congrue 1 mod 4;
-con lo stratagemma finale si eliminano le c pari.
In conclusione, n può essere uguale solo a 3 o 7. Che fatica, però... è giusto almeno?
1. n deve essere primo; a parte 3, altre eventuali soluzioni saranno congrue 1 mod 6
2. questi altri n sono della forma 30b+7 o 30b+13, con $ $b \in N $ $
3. si riducono a quelli della forma 60c+7 o 60c+43, con $ $c \in N $ $
4. la forma 60c+7 dà come soluzione solo 7
5. la forma 60c+43 non dà soluzioni
1) Se n non fosse primo le condizioni non sarebbero rispettate per x=0; si può verificare che n=2 non è una soluzione, ma n=3 sì; tutti gli altri numeri primi sono della forma 6a-1 o 6a+1, ma con x=1 la prima darebbe un'espressione 4+6a-1=6a+3=3(2a+1), che non è mai un numero primo in quanto a>=1;
2) i numeri primi della forma 6n+1 sono maggiori di 5 e terminano con una delle cifre 1, 3, 7, 9: ma se n terminasse per 1 con x=1 si avrebbe un numero che termina per 5, quindi multiplo di 5 (ma non è possibile che sia proprio 5, perché n>5 e la succesione 4x^2+n è strettamente crescente); stesso risultato se n termina per 9 con x=2. Bisogna perciò che $ $ n \equiv 1 \pmod{6} $ $ e che $ $ n \equiv 3 $ o $ 7 \pmod{10} $ $ . La faccenda si risolve con due sistemi di congruenze da cui $ $ n \equiv 7 \pmod{30} $ $ oppure $ $ n \equiv 13 \pmod{30} $ $
3) per n=30b+7 poniamo b è dispari e prendiamo x=(15b+3)/2 (si può verificare che con b non negativo non è mai maggiore di n-1). Con qualche passaggio si ottiene che l'espressione risultante è un quadrato perfetto, e precisamente $ $(15b+4)^2 $ $, perciò non è un primo;
b sarà necessariamente pari: n è perciò della forma 60c+7, con $ $c \in N $ $.
per n=30b+13 poniamo b è pari e prendiamo x=(15b+6)/2 (come sopra). Si ottiene ancora un quadrato perfetto: (15b+7)^2. In questo caso allora b è necessariamente dispari, perciò n è della forma 60c+43.
4) analizzo ora la forma n=60c+7:
per c=0 si ha n=7 che è una soluzione; tratto ora c positivo.
Provo innanzitutto ad eguagliare l'espressione generica ad un quadrato perfetto meno uno (y^2-1):
$ $ 4x^2+60c+7=y^2-1 $ $
che si trasforma con alcuni passaggi in:
$ $ 4(15c+2)=(y-2x)(y+2x) $ $
ponendo y-2x=4 e y+2x=15c+2 (cioè il minore con il minore e il maggiore con il maggiore) si ottiene $ $ y= (15c+6)/2 $ $ e $ $ x= (15c-2)/4 $ $, entrambi interi positivi se c è congruo 2 mod 4 (x è sempre minore di n, come vuole la traccia). Per il valore di x così trovato, quindi, l'espressione 4x^2+n può essere scritta come y^2-1=(y-1)(y+1), e si può verificare che per nessun valore di c y-1 è uguale ad 1: perciò l'espressione è un numero composto qualunque sia $ $ c \equiv 2 \pmod{4}$ $
Trattando in modo analogo l'uguaglianza $ $ 4x^2+60c+7=y^2-9=(y-3)(y+3) $ $ si ha $ $ y= (15c+8)/2 $ $ e $ $ x= 15c/4 $ $, entrambi interi positivi se c è congruo 0 mod 4 (x è sempre minore di n). E ancora una volta nessun valore positivo di c può dare la prima parentesi uguale ad 1, perciò il numero 4x^2+n è un numero composto qualunque sia $ $ c \equiv 0 \pmod{4}$ $.
Ora ecco un altro 'stratagemma'. Scrivo il numero $ $ 4x^2+60c+7$ $ come $ $ 4(15c+2)+(2x-1)(2x+1) $ $ e provo a mettere 15c+2=2x-1. Ottengo x=(15c+3)/2, intero (sempre positivo e minore di n) per ogni c dispari. Se c è dispari, allora, per quel valore di x l'espressione diventa: $ $ (15c+2)(15c+8) $ $ , composto qualunque sia il valore di c. Quindi anche c dispari è da scartare.
5)il caso n=60c+43 si analizza in un modo simile a sopra, ma ammettendo che c può anche essere 0 (ne faccio un riassunto):
-eguagliando l'espressione a y^2-1 si eliminano le c congrue 3 mod 4;
-eguagliandola a y^2-9 si eliminano le c congrue 1 mod 4;
-con lo stratagemma finale si eliminano le c pari.
In conclusione, n può essere uguale solo a 3 o 7. Che fatica, però... è giusto almeno?
Allora... Inizio col dirti, Decan, che la tua soluzione è assolutamente perfetta, oltre che ampiamente generosa di dettagli, quindi (per quel che mi riguarda) due volte più lodevole. Certo, qua e là avresti potuto senza dubbio accorciarla, sfruttando in modo furbo qualche risultato preso in prestito dalla teoria delle congruenze quadratiche, ad esempio. Ma vabbè... Ti meriti comunque un bel "BRAVO". Concedimi però giusto una ridicola annotazione:
Qui sarebbe meglio scriverci $ 6a+1 $, come del resto hai fatto nel precedente, dacché la lettera "$ n $" è già riservata per indicare una variabile del problema. Altro non c'è.Decan ha scritto:2) i numeri primi della forma 6n+1 sono maggiori di 5 e terminano [...]
