Diofantee semplici semplici

[enomis_costa88]

Per Lafforgue aspetterò un po' a vedere..

Semplicemente avevo capito che c'era un problema e pensavo di dare una seconda possibilità al malcapitato..il tutto senza avere fatto attenzione alla sua soluzione (mi sono solo fidato di ciò che egli stesso ha scritto) ovvero:

ehm... già, ho dimenticato un (bel) po' di casi ...

comunque visto che questa sera mi sento un po' più pignolo (stò scherzando ovviamente) vorrei chiedere una cosa a Peppeporc: se puoi potresti (per migliorare la leggibilità..) esplicitare i calcoli quando dici "con opportuni passaggi" e quando fai la sostituzione ottenendo $ 4k^2+4k+1=0 $. Te ne sarei molto grato anche perchè mi era venuto un dubbio..grazie 1000 in anticipo

Leggo ora l'altra soluzione di Lafforgue e non capisco una cosa (mi sembra ci sia un'errore ma che poi si aggiusti tutto):
modulo 5 ottengo $ -7 \equiv 3 $ e $ 9 \equiv -1 $
$ -7y^2\equiv 9\equiv -1 \equiv 3y^2 (mod 5) $
ovvero $ 1 \equiv -3y^2 \equiv 2y^2 $ e l'inverso di 2 modulo 5 è 3 per cui ricaverei
$ y^2 \equiv 3 (mod 5) $ (se non ho scritto cavolate 3 e non 2 come nella tua) che non è neanche esso un residuo modulo 5..che fortuna ragazzi

EDIT dimenticavo di dirlo..a Lafforgue: buona l'idea di lasciar stare per una volta il modulo 3 e usare il 5 (è più veloce e, se solo non ci fosse di messo l'inverso, sarebbe più semplice)

Buona Serata

[Lafforgue]

Leggo ora l'altra soluzione di Lafforgue e non capisco una cosa (mi sembra ci sia un'errore ma che poi si aggiusti tutto):
modulo 5 ottengo $ -7 \equiv 3 $ e $ 9 \equiv -1 $
$ -7y^2\equiv 9\equiv -1 \equiv 3y^2 (mod 5) $
ovvero $ 1 \equiv -3y^2 \equiv 2y^2 $ e l'inverso di 2 modulo 5 è 3 per cui ricaverei
$ y^2 \equiv 3 (mod 5) $ (se non ho scritto cavolate 3 e non 2 come nella tua) che non è neanche esso un residuo modulo 5..che fortuna ragazzi

Giusto, erroraccio mio, il meno era scomparso da un passaggio all' altro come per magia ...

[peppeporc]

Ti ho risposto modificando il mio messaggio precedente (che errore!!)

[HiTLeuLeR]

[...] dimostrare che $ 3^k-1=x^n $ non ha soluzioni per $ n > 1 $ e $ n \neq 3 $

Edit: corretta la 8..scusatemi

Non va bene comunque, bisogna pure supporre $ k \neq 0 $. Altrimenti l'equazione ammette chiaramente infinite soluzioni: basti porre $ x = k = 0 $ e ammettere $ n $ liberamente variabile nel suo insieme di definizione.

[enomis_costa88]

$ k \neq 0 $. Altrimenti l'equazione ammette chiaramente infinite soluzioni: basti porre $ x = k = 0 $ e ammettere $ n $ liberamente variabile nel suo insieme di definizione.

non so cosa mi sia venuto in mente con questa.
Ho riguardato ora l'originale e poneva una piccola e semplice condizione che avevo dimenticato..K è POSITIVO. o meglio avevo fatto confusione con le condizioni di n e avevo posto k>1 additrittura anziche k>0 per poi togliere questa condizione pensando fosse sbagliata

comunque mi pare che a parte le immense imprecisioni del sottoscritto la risoluzione sia andata (e magari stia andando se qualcuno come peppeporc volesse aggiungere ancora qualcosa) piuttosto bene o sbaglio?

Buona domenica a tutti.

[HiTLeuLeR]

Mi permetto di intervenire in merito alla soluzione di peppeporc al problema 3) solo perché così mi è stato chiesto privatamente. Dunque eccomi...

[...] risolvo la 3) $ $ 15x^2-7y^2=9$ \, $ ; dato che il risultato è un numero dispari si possono avere le seguenti configurazioni
$ (1) p - d = d $
$ (2) d - p = d $;
considerando la $ (1) $ si ha: $ $15x^2 = p \Rightarrow x^2 = p $ $ e $ $ 7y^2 = d \Rightarrow y^2 =d $ $. Ora: $ $ 15x^2 \equiv 9 \equiv 0\pmod{3}\, con x^2 pari $ è lecito quindi $ $15x^2-9 \equiv 0\pmod{3}\, $ ovvero $ \,$7y^2 \equiv 0\pmod{3}$\, $ se $ $y^2$\, $ è della forma $ \,$(3k+6)^2$\, $; [...]

Qui c'è un po' di confusione! Coerentemente con il caso (1): $ y^2 \equiv 0 \bmod 3 $ solo se $ y = 6k + 3 $, per qualche $ k\in\mathbb{Z} $. Ma a parte questo, tieni conto che una risoluzione basata su un approccio analogo a quello che tu qui hai tentato di proporre, peppeporc, di norma non conduce molto lontano, poiché fra l'altro spesso si riduce allo studio d'un numero di casi troppo esagerato per essere gestibile. Se vuoi, fidati piuttosto di questo semplice ingegnere, quando ti dice (con la supponenza tipica di chi si stima "esperto") che le diofantee quadratiche si affrontano innanzitutto usando la teoria dei residui quadratici, previa una scelta appropriata del modulo secondo cui operare: così è stato per la soluzione di Lafforgue. Ciao!

[HiTLeuLeR]

[...] comunque mi pare che a parte le immense imprecisioni del sottoscritto la risoluzione sia andata (e magari stia andando se qualcuno come peppeporc volesse aggiungere ancora qualcosa) piuttosto bene o sbaglio?

Non ho letto a fondo la soluzione di Franchifis al problema 8bis), ma scorrendola rapidamente dico che certo le buone idee non mancano: sostanzialmente, il nostro si riporta al caso base $ n = 3 $, e questo è senza dubbio il giusto approccio. Magari non è l'unico, ma è di certo fra i più elementari.

[robymexy86]

raga sono messa troppo male!tra circa tre giorni ho l'esame di matematica discreta sulle equazioni diofantee e sulle relazioni. per le relazioni non c'è problema...ma non so niente delle equazioni diofantee!!! anche perchè io alle superiori ho fatto un linguistico e queste cose non le abbiamo mai fatte...vi prego...non so niente...non le capisco proprio...aiutatemi!!!!