From the British Mathematical Olympiad 2002/2003.
Given that $ 34! = 295232799cd96041408476186096435ab000000 $, determine the digits $ a, b, c, d $.
Soluz.: innanzitutto $ a, b, c, d \in \mathcal{D}_{10} = \{0, 1, \ldots, 9\} $, poiché è fatta implicita assunzione di operare in base decimale. Per ogni primo naturale $ p $, sia adesso $ v_p $ la valutazione $ p $-adica di $ 34! $, i.e. il massimo esponente intero $ k $ t.c. $ p^k \mid 34! $. Dall'
identità di Legendre-De Polignac: $ \displaystyle v_p = \sum_{t=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{34}{p^t}\right\rfloor $, per cui (in particolare) $ v_2 \geq 10 $, $ v_3 \geq 2 $, $ v_5 = 7 $ e $ v_{11} \geq 1 $.
Ergo $ 10^7\;||\; 34! $, e perciò necessariamente $ b = 0 $. Inoltre $ 0 \equiv 34! \equiv (350 + a)\cdot 10^7 \bmod 2^{10} $, donde $ 0 \equiv \equiv a - 2 \bmod 8 $ ed $ a = 2 $.
Siano adesso $ s_p $ ed $ s_d $, rispettivamente, la somma delle cifre decimali di posto pari e di posto dispari del fattoriale di $ 34 $. Risulta $ s_p = 80 + d $ ed $ s_d = 61 + c $. Eppure $ 34! \equiv 0 \bmod 11 $, per cui $ s_p \equiv s_d \bmod 11 $, viz $ d - c = 3 + 11k $, per qualche $ k\in\mathbb{Z} $. Analogamente $ 34! \equiv 0 \bmod 9 $, e pertanto $ 0 \equiv s_p + s_d \equiv c + d - 3 \bmod 9 $, ovvero $ c + d = 3 + 9h $, per qualche $ h\in\mathbb{N} $. Poiché $ c, d \in \mathcal{D}_{10} $, se ne conclude prontamente che l'unica soluzione possibile è ottenuta ammettendo $ d - c = c + d = 3 $, e quindi $ c = 0 $ e $ d = 3 $. Fine della storia...
Very very important: QUESTO E' IL MIO 1000-ESIMO MESSAGGIO! Nessuno che mi faccia gli auguri e soffi le candeline assieme a me? Almeno per una volta, siatemi buoni, Cristo santo, essù...
