Congruenze binomie con "condizione al contorno"

[HiTLeuLeR]

Problema: siano $ p, q $ numeri primi naturali tali che, per ogni $ n\in\mathbb{Z} $: $ p \nmid (n^2 - q) $. Stabilire allora condizioni necessarie e sufficienti (non tautologiche!) su $ p $ e $ q $ affinché la congruenza binomia $ x^p \equiv a \bmod q $ ammetta soluzione per ogni $ a\in\mathbb{Z} $.