Razionali, certo, maaa... Quanto integri?

[HiTLeuLeR]

Problema: siano $ m,n\in\mathbb{N}_0 $, con $ n \geq 2 $; $ a_1, a_2, \ldots, a_m\in\mathbb{Z} $. E' vero che esistono soltanto finiti $ k\in\mathbb{N} $ tali che $ \displaystyle\sum_{i=1}^m\left(a_i + \frac{1}{n}\right)^{\! k} $ sia un numero intero?