Trovare tutte le soluzioni dell'equazione:
$ \displaystyle \pm 2^a \pm 3^b \pm 5^c=0 $
con $ a,b,c $ interi non negativi. Se lo volete "splittato":
$ 2^a+3^b=5^c $
$ 2^a+5^c=3^b $
$ 5^c+3^b=2^a $
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Simo_the_wolf
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Occhio che non credo che le tre siano a sistema.Sisifo ha scritto:Dalla prima e dalla terza equazione considerate modulo 5 risulta
$ 2^a + 3^b \equiv 0 ( \bmod 5 ) $
$ 2^a \equiv 3^b (\bmod 5) $
Sostituendo la seconda nella prima,
$ 2^a + 2^ a \equiv 0 (\bmod 5) $
cioè
$ 2^{a+1} \equiv 0 (\bmod 5) $
Che è impossibile.
Ad es. la prima ha soluzione a=4 b=c=2
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HumanTorch
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Le soluzioni elementari della prima sono $ a=b=c=1 $ e $ (4;2;2) $..per gli altri casi (scusate, sono tornato solo ora..)utilizzerei le terne pitagoriche, il teorema di Fermat e (forse) Legendre possono esserci utili a prima vista (e ovviamente tante tante scomposizioni, congruenze e arrangiamenti alla Karl's.. 
)..altre soluzioni contenenti lo $ 0 $?
)..altre soluzioni contenenti lo $ 0 $?
Ultima modifica di HumanTorch il 26 giu 2005, 10:55, modificato 2 volte in totale.
Dal modo in cui lo dici, sembra quasi non ce ne siano altre, di "elementari"... Eppure $ 2^a + 3^b = 5^c $, se $ a = 2, b = 0 $ e $ c = 1 $. Boh, sai che ti dico, Simo? Che lo liquido io, questo problema, prima che il tuo topic si trasformi in una sorta di totodiofantea...HumanTorch ha scritto:Le soluzioni elementari della prima sono $ a=b=c=1 $ e $ (4;2;2) $...
Parto con un lemmino, che è poi la soluzione di un caso particolare della diofantea di cui intendo occuparmi!
Lemma #1: l'unica soluzione in interi non negativi all'equazione $ 5^x = 2^y + 1 $ si ottiene assumendo $ x = 1 $ ed $ y = 2 $.
Dim.: siano $ x,y\in\mathbb{N} $ t.c. $ 5^x = 2^y + 1 $. Poiché $ 1 < 2 \leq 2^y + 1 $, necessariamente $ x \geq 1 $, e di conseguenza $ y \geq 2 $. Del resto: $ 5^x = 2^y + 1 $ soltanto se $ 2^x \equiv (-1)^y + 1 \bmod 3 $, e quest'è possibile sse $ y \equiv 0 \bmod 2 $ ed $ x \equiv 1 \bmod 2 $, ovvero $ x = 2m + 1 $ ed $ y = 2n $, con $ m\in\mathbb{N} $ ed $ n\in\mathbb{N}_0 $. Eppure, supposto $ n \geq 2 $: $ 5^{2m+1} = 2^{2n} + 1 $ solo se $ 5 \equiv 1 \bmod 8 $, assurdo! Indi, a fortiori: $ n = 1 $, e quindi: $ 5^{2m+1} = 2^2 + 1 $. Di qui $ m = 0 $, e in definitiva $ (x,y) = (1, 2) $. Ne segue la tesi, q.e.d.
Lemma #1: l'unica soluzione in interi non negativi all'equazione $ 5^x = 2^y + 1 $ si ottiene assumendo $ x = 1 $ ed $ y = 2 $.
Dim.: siano $ x,y\in\mathbb{N} $ t.c. $ 5^x = 2^y + 1 $. Poiché $ 1 < 2 \leq 2^y + 1 $, necessariamente $ x \geq 1 $, e di conseguenza $ y \geq 2 $. Del resto: $ 5^x = 2^y + 1 $ soltanto se $ 2^x \equiv (-1)^y + 1 \bmod 3 $, e quest'è possibile sse $ y \equiv 0 \bmod 2 $ ed $ x \equiv 1 \bmod 2 $, ovvero $ x = 2m + 1 $ ed $ y = 2n $, con $ m\in\mathbb{N} $ ed $ n\in\mathbb{N}_0 $. Eppure, supposto $ n \geq 2 $: $ 5^{2m+1} = 2^{2n} + 1 $ solo se $ 5 \equiv 1 \bmod 8 $, assurdo! Indi, a fortiori: $ n = 1 $, e quindi: $ 5^{2m+1} = 2^2 + 1 $. Di qui $ m = 0 $, e in definitiva $ (x,y) = (1, 2) $. Ne segue la tesi, q.e.d.
Problema #1: determinare tutte le soluzioni in interi non negativi dell'equazione $ 2^a + 3^b = 5^c $.
Soluz.: Siano $ a,b,c\in\mathbb{N} $ t.c. $ 2^a + 3^b = 5^c $. Se $ a = 0 $, questo implica $ 1 + 3^b = 5^c $, donde $ 0 \equiv 1 \bmod 2 $, assurdo! Pertanto dev'essere $ a > 0 $, e così pure $ c > 0 $, siccome $ 2^a + 3^b > 1 $. Ora, se $ b = 0 $, l'equazione proposta assume la forma $ 2^a + 1 = 5^c $, e come tale (visto il lemma precedentemente stabilito) è risolta sse $ a = 2 $ e $ c = 1 $. Per il seguito, si può dunque assumere $ \min(a,b,c) \geq 1 $.
Ebbene, se $ a \geq 2 $: $ 2^a + 3^b = 5^c $ solo se $ (-1)^b \equiv 1 \bmod 4 $, sicché $ b = 2n $, per qualche $ n\in\mathbb{N}_0 $. Perciò dev'essere $ 2^a + 3^{2n} = 5^c $, e quindi $ 2^a \equiv (-1)^{n+1} \bmod 5 $. Di qui $ a \equiv 0 \bmod 2 $, ovvero $ a = 2m $, con $ m\in\mathbb{N}_0 $. Ne viene $ 2^{2m} + 3^{2n} = 5^c $, donde $ 2^{2m} \equiv (-4)^c \bmod 9 $, ovvero $ 2^{2|m-c|} \equiv (-1)^c \bmod 9 $, e ancora $ c = 2p $, con $ p\in\mathbb{N}_0 $. Ne sussegue $ 2^{2m} + 3^{2n} = 5^{2p} $, ossia $ 3^{2n} = (5^p - 2^m)(5^p + 2^m) $.
Da qui $ 5^p - 2^m = 3^u $ e $ 5^p + 2^m = 3^v $, con $ u, v \in\mathbb{N} $ e $ u + v = 2n $. E tuttavia, in base all'algortimo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore: $ \gcd(5^p + 2^m, 5^p - 2^m) = \gcd(5^p - 2^m, 2^{m+1}) = 1 $, perciocché $ 5^p - 2^m = 3^u $ e $ 5^p + 2^m = 3^v $ solo se $ u = 0 $, e quindi $ 5^p = 2^m + 1 $. Una volta ancora in base al lemma qui sopra discusso, ne consegue $ p = 1 $ ed $ m = 2 $, da cui $ 5 + 2^2 = 3^v $, i.e. $ v = 2 $. Ne discende $ x = 2m = 4 $, $ y = u + v = 2 $ e $ z = 2p = 2 $.
Resta a questo punto da considerare il caso $ a = 1 $, cioè da risolvere l'equazione $ 2 + 3^b = 5^c $, con $ \min(b,c) \geq 1 $. Si ha evidentemente soluzione se $ b = c = 1 $. Per il seguito, possiamo dunque ammettere che sia $ c \geq 2 $, e il caso in questione merita (ritengo!) un'attenzione un po' particolare, per cui... Tenete pazienza, ché adesso arriva!!!
Soluz.: Siano $ a,b,c\in\mathbb{N} $ t.c. $ 2^a + 3^b = 5^c $. Se $ a = 0 $, questo implica $ 1 + 3^b = 5^c $, donde $ 0 \equiv 1 \bmod 2 $, assurdo! Pertanto dev'essere $ a > 0 $, e così pure $ c > 0 $, siccome $ 2^a + 3^b > 1 $. Ora, se $ b = 0 $, l'equazione proposta assume la forma $ 2^a + 1 = 5^c $, e come tale (visto il lemma precedentemente stabilito) è risolta sse $ a = 2 $ e $ c = 1 $. Per il seguito, si può dunque assumere $ \min(a,b,c) \geq 1 $.
Ebbene, se $ a \geq 2 $: $ 2^a + 3^b = 5^c $ solo se $ (-1)^b \equiv 1 \bmod 4 $, sicché $ b = 2n $, per qualche $ n\in\mathbb{N}_0 $. Perciò dev'essere $ 2^a + 3^{2n} = 5^c $, e quindi $ 2^a \equiv (-1)^{n+1} \bmod 5 $. Di qui $ a \equiv 0 \bmod 2 $, ovvero $ a = 2m $, con $ m\in\mathbb{N}_0 $. Ne viene $ 2^{2m} + 3^{2n} = 5^c $, donde $ 2^{2m} \equiv (-4)^c \bmod 9 $, ovvero $ 2^{2|m-c|} \equiv (-1)^c \bmod 9 $, e ancora $ c = 2p $, con $ p\in\mathbb{N}_0 $. Ne sussegue $ 2^{2m} + 3^{2n} = 5^{2p} $, ossia $ 3^{2n} = (5^p - 2^m)(5^p + 2^m) $.
Da qui $ 5^p - 2^m = 3^u $ e $ 5^p + 2^m = 3^v $, con $ u, v \in\mathbb{N} $ e $ u + v = 2n $. E tuttavia, in base all'algortimo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore: $ \gcd(5^p + 2^m, 5^p - 2^m) = \gcd(5^p - 2^m, 2^{m+1}) = 1 $, perciocché $ 5^p - 2^m = 3^u $ e $ 5^p + 2^m = 3^v $ solo se $ u = 0 $, e quindi $ 5^p = 2^m + 1 $. Una volta ancora in base al lemma qui sopra discusso, ne consegue $ p = 1 $ ed $ m = 2 $, da cui $ 5 + 2^2 = 3^v $, i.e. $ v = 2 $. Ne discende $ x = 2m = 4 $, $ y = u + v = 2 $ e $ z = 2p = 2 $.
Resta a questo punto da considerare il caso $ a = 1 $, cioè da risolvere l'equazione $ 2 + 3^b = 5^c $, con $ \min(b,c) \geq 1 $. Si ha evidentemente soluzione se $ b = c = 1 $. Per il seguito, possiamo dunque ammettere che sia $ c \geq 2 $, e il caso in questione merita (ritengo!) un'attenzione un po' particolare, per cui... Tenete pazienza, ché adesso arriva!!!
Lemma #2: l'equazione $ 2 + 3^x = 5^y $ non ammette soluzioni in interi positivi se $ y \geq 2 $.
Soluz.: per assurdo, esistano $ x,y\in\mathbb{N}_0 $, con $ y \geq 2 $, tali che: $ 2 + 3^x = 5^y $. Allora $ 3^y \equiv - 2 \bmod 5^2 $. Senonché $ \varphi(5) = 4 $; $ 3^2 \equiv - 1 \bmod 5 $ e ancora $ 5\, \|\, (3^4 - 1) $, per cui (stanti le proprietà elementari degli ordini moltiplicativi): $ \mbox{ord}_{5^2}(3) = 5 \cdot \mbox{ord}_5(3) = 20 = \varphi(5^2) $. Dunque $ 3 $ è una radice primitiva $ \bmod 5 $. E siccome $ 3^3 \equiv 2 \bmod 5^2 $, risulta prontamente $ 3^{12} \equiv 2^4 \equiv -3^2 \bmod 5^2 $, e quindi $ 3^{13} \equiv -27 \equiv -2 \bmod 5^2 $. Indi $ 3^y \equiv - 2 \bmod 5^2 $ sse $ y \equiv 13 \bmod \varphi(5^2) $, ovvero sse $ y = 20z + 13 $, con $ z\in\mathbb{N} $. Si è così ricondotti, per questa via, a risolvere l'equazione $ 2 + 3^{20z+13} = 5^y $, con $ y, z \in\mathbb{N} $ e $ y\geq 2 $. Dico che la diofantea indicata non ammette soluzioni. Ragioniamo infatti $ \bmod\, 11 $.
Poiché $ \varphi(11) = 2 \cdot 5 $ e $ \displaystyle\left(\frac{3}{11}\right) = -\left(\frac{11}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right) = -(-1)^{(3^2 - 1)/8} = 1 $, vale $ \mbox{ord}_{11}(3) = 5 $. Di qui: $ 2 + 3^{20z+13} = 5^y $ solo se $ 5^y \equiv 2 + 3^3 \equiv 7 \bmod 11 $, il che è impossibile. E' infatti $ \mbox{ord}_{11}(5) = 5 $, ché $ \displaystyle\left(\frac{5}{11}\right) = \left(\frac{11}{5}\right) = \left(\frac{1}{5}\right) = 1 $, e nondimeno $ \{5^k \bmod\, 11: k \in\mathbb{N}\} = \{1, 5, 3, 4, 9\} $. Ne seguita l'asserto, q.e.d.
Soluz.: per assurdo, esistano $ x,y\in\mathbb{N}_0 $, con $ y \geq 2 $, tali che: $ 2 + 3^x = 5^y $. Allora $ 3^y \equiv - 2 \bmod 5^2 $. Senonché $ \varphi(5) = 4 $; $ 3^2 \equiv - 1 \bmod 5 $ e ancora $ 5\, \|\, (3^4 - 1) $, per cui (stanti le proprietà elementari degli ordini moltiplicativi): $ \mbox{ord}_{5^2}(3) = 5 \cdot \mbox{ord}_5(3) = 20 = \varphi(5^2) $. Dunque $ 3 $ è una radice primitiva $ \bmod 5 $. E siccome $ 3^3 \equiv 2 \bmod 5^2 $, risulta prontamente $ 3^{12} \equiv 2^4 \equiv -3^2 \bmod 5^2 $, e quindi $ 3^{13} \equiv -27 \equiv -2 \bmod 5^2 $. Indi $ 3^y \equiv - 2 \bmod 5^2 $ sse $ y \equiv 13 \bmod \varphi(5^2) $, ovvero sse $ y = 20z + 13 $, con $ z\in\mathbb{N} $. Si è così ricondotti, per questa via, a risolvere l'equazione $ 2 + 3^{20z+13} = 5^y $, con $ y, z \in\mathbb{N} $ e $ y\geq 2 $. Dico che la diofantea indicata non ammette soluzioni. Ragioniamo infatti $ \bmod\, 11 $.
Poiché $ \varphi(11) = 2 \cdot 5 $ e $ \displaystyle\left(\frac{3}{11}\right) = -\left(\frac{11}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right) = -(-1)^{(3^2 - 1)/8} = 1 $, vale $ \mbox{ord}_{11}(3) = 5 $. Di qui: $ 2 + 3^{20z+13} = 5^y $ solo se $ 5^y \equiv 2 + 3^3 \equiv 7 \bmod 11 $, il che è impossibile. E' infatti $ \mbox{ord}_{11}(5) = 5 $, ché $ \displaystyle\left(\frac{5}{11}\right) = \left(\frac{11}{5}\right) = \left(\frac{1}{5}\right) = 1 $, e nondimeno $ \{5^k \bmod\, 11: k \in\mathbb{N}\} = \{1, 5, 3, 4, 9\} $. Ne seguita l'asserto, q.e.d.
Conclusioni: le uniche soluzioni in interi non negativi all'equazione $ 2^a + 3^b = 5^c $ sono espresse (tutte e sole) dalle terne $ (a,b,c)\in\{(1,1,1), (2,0,1), (2,2,2)\} $. Fine della storia! In quanto agli altri due problemi, beh... Non mi pare che siano granché più interessanti o stimolanti del precedente!!!