Trovare tutti gli
$ n=a_1a_2a_3a_4...a_k $ (scrittura decimale)
tali che:
$ n=a_1^2+a_2^2+\dots+a_k^2 $
Somma quadrati cifre= numero
Osservo che un numero di k cifre, con k molto grande è ben superiore alla somma dei quadrati delle sue cifre.
Supponendo tutte le cifre 9 (il massimo), si ha che $ 81 k > 999... \Rightarrow 81 k > 10^k $, da cui risulta che n non può avere più di 2 cifre.
A questo punto, $ n = 10 a_1 + a_2 = a_1^2+a_2^2 $
Con la forza bruta ho trovato che le uniche soluzioni sono n=0, n=1.
Cmq, risolvendo l'equazione in $ a_1 $ si ottiene il discriminante $ 25 - a_2^2+a_2 $ che dev'essere un quadrato, ma è facile verificare che solo a2 = 0 ed a2 = 1 sono soluzioni minori di 10.
Supponendo tutte le cifre 9 (il massimo), si ha che $ 81 k > 999... \Rightarrow 81 k > 10^k $, da cui risulta che n non può avere più di 2 cifre.
A questo punto, $ n = 10 a_1 + a_2 = a_1^2+a_2^2 $
Con la forza bruta ho trovato che le uniche soluzioni sono n=0, n=1.
Cmq, risolvendo l'equazione in $ a_1 $ si ottiene il discriminante $ 25 - a_2^2+a_2 $ che dev'essere un quadrato, ma è facile verificare che solo a2 = 0 ed a2 = 1 sono soluzioni minori di 10.
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Questa deduzione non è completa: dal fatto che i numeri sono definitivamente maggiori della somma dei quadrati delle loro cifre, e dal fatto che, quando tutte le cifre sono 9, il numero non può avere più di 2 cifre, non puoi dedurre immediatamente che tutti i numeri devono avere al massimo 2 cifre.bh3u4m ha scritto:Osservo che un numero di k cifre, con k molto grande è ben superiore alla somma dei quadrati delle sue cifre.
Supponendo tutte le cifre 9 (il massimo), si ha che $ 81 k > 999... \Rightarrow 81 k > 10^k $, da cui risulta che n non può avere più di 2 cifre.
Ricapitolo: il minimo numero di quattro cifre è 1000, che chiamerò $ m_4 $, il massimo è 9999, la somma dei quadrati delle cui cifre chiamerò $ S_4 = 9^2 \cdot 4 $ che è la massima somma tra tutte le possibili $ \\ S_4 = 9^2 \cdot 4 = 324 < 1000 $, per cui non esistono numeri di quattro cifre con le condizioni richieste.MindFlyer ha scritto: Questa deduzione non è completa: dal fatto che i numeri sono definitivamente maggiori della somma dei quadrati delle loro cifre, e dal fatto che, quando tutte le cifre sono 9, il numero non può avere più di 2 cifre, non puoi dedurre immediatamente che tutti i numeri devono avere al massimo 2 cifre.
Passando a cinque cifre,
$ \\ S_5 = 10 \cdot S_4 \\ m_5 = m_4 + 81 \\ $
crescendo m più velocemente di S non ci sarà nessun numero di 5 cifre minore od uguale alla somma dei quadrati delle sue cifre. In generale $ m_q > S_q $, per $ q>= 4 $.
Per il 3 verifico per ora con la forza bruta, più tardi darò un'occhiata.
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