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Risolvere negli interi l'equazione $ x^4+x=3y^2 $

Conclusione Le uniche soluzioni sono $ (-1,0),(0,0) $

Dimostrazione

Si nota immediatamente che $ x\equiv 0 $ o $ x\equiv 2 $ modulo $ 3 $, senò a destra non saremmo zeri modulo $ 3 $. Poichè $ (x,x^3+1)=1 $, vale una delle due seguenti:

(1)
$ x=l^2 $
$ x^3+1=3j^2 $

(2)
$ x=3l^2 $
$ x^3+1=j^2 $
Il caso (1) è impossibile, si dovrebbe ammettere che esista un quadrato che da resto 2 diviso per tre, per l'altro caso poniamo $ l^2=k $

$ 3k(27k^3+1)=3y^2 $
$ k(27k^3+1)=y^2 $

ma, detto $ g=\gcd(k,27k^3+1) $ si avrà
$ g|k $
$ g|27k^3+1 $
$ g|27k^3+1-27k^2(k)=1 $

dovrebbe essere quindi $ 27k^3+1=n^2 $ per qualche $ n $
$ 27k^3=(n-1)(n+1) $
che implica
$ 27a^3=n-1 $
$ b^3=n+1 $
o
$ a^3=n-1 $
$ 27b^3=n+1 $

assurde perchè non esistono cubi con differenza $ 2 $

Vabbè non mi va di aprire un altro forum (spero mind non si arrabbi troppo) e posto un'altra equazione qui: dai $ x,y $ interi positivi t.c. $ 3x^2+x=4y^2+y $ dimostrare che $ x-y $ è un qudrato perfetto.

1. Per $ x=y=0 $ la tesi è dimostrata;
2.$ x>y $ e $ x<\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3} $ trattandosi di interi positivi, quindi $ x $ e $ y $ sono coprimi; 3.$ y $ è pari;
4. sia $ k=x-y $; quindi $ (3x+3y+1)k=y^2 $, e se $ gcd(k,y)>1 $, ci salta la 2; ma nell'uguaglianza a destra c'è un fattore che non c'è a sinistra: assurdo

EDIT: Aspetta: chi ci dice che sono coprimi $ x $ e $ y $?
Comunque, se non sono coprimi, sia $ g $ il loro gcd, e si nota che $ 3x+3y+1 \equiv 1 (mod g) $, quindi $ g^2|k $.
Dividiamo entrambi i membri per $ g^2 $ e dovremmo essere a posto.

Boll ha scritto: $ g|27k^3+1-27k^2(k)=1 $
quindi i due numeri sono coprimi, quindi devono essere entrambi quadrati per avere come prodotto un quadrato, ma, poichè salvo $ (0,1) $ non esistono due quadrati consecutivi esistono solo le soluzioni banali.

Scusa Boll ma proprio non capisco.
Come fai a dedurre dal fatto che non esistono due quadrati consecutivi che $ k $ e $ 27k^3+1 $ non sono contemporaneamente quadrati perfetti ?

Grazie

E' vero simo01, evidentemente ieri sera sia io che Simo (l'altro) eravamo un pò fusi o addormentati, ora ho corretto tutto

Mah proviamo il secondo:

Osserviamo intento che l'equazione di partenza può essere scritta come:
$ (x-y)(3x+3y+1)=y^2 $, supponiamo ora che esista $ p $ primo tale che $ p|(x-y) $ e $ p|(3x+3y+1) $.
Abbiamo quindi:
$ x=y+pk $ con k in N e sostituendo nella seconda relazione abbiamo
$ 6y+1==0mod(p) $. (1)
Notiamo infine che per come è stato scelto p, questo divide $ y^2 $ e quindi y, ma allora $ y==0mod(p) $ ma questo è in palese contraddizione con la (1).
Ma allora $ (x-y,3x+3y+1]=1 $ ed essendo il loro prodotto un quadrato devono esserlo entrambi.

Spero sia corretto
Ciao a tutti.

Farei notare che $ x-y $ oltre a essere quadrato è il quadrato di un numero particolare... Chi lo trova?

Simo_the_wolf ha scritto:[...] dati $ x,y $ interi positivi t.c. $ 3x^2+x=4y^2+y $ dimostrare che $ x-y $ è un qudrato perfetto.

Consideriamo innanzitutto che, se $ x,y\in\mathbb{N}_0 $ e $ 3x^2+x=4y^2+y $, necessariamente $ x \geq y $, cosicché $ \mid x - y \mid = x - y $. Osserviamo quindi che: $ 3x^2+x=4y^2+y $ sse $ (x-y)\cdot (3(x+y) + 1) = y^2 $; o anche $ (x-y)\cdot (4(x-y) + 1) = x^2 $. Di qui: $ (\gcd(x,y))^2 = \gcd(x^2, y^2) = \gcd((x-y)\cdot $ $ (3(x+y) + 1), (x-y)\cdot (4(x+y) + 1)) = $ $ |x-y| \cdot \gcd(3(x+y) + 1, 4(x-y) + 1) = x - y $, siccome $ \gcd(3u+1, 4u+1) = 1,\,\forall\,u\in\mathbb{Z} $. Segue l'asserto, q.e.d.