Pari e dispari in successione
Pari e dispari in successione
Problema #1: avendo assunto $ a_1 := 2 $ ed $ \displaystyle a_{n+1} := \left\lfloor \dfrac{3}{2} a_n\right\rfloor\, $, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, dimostrare che nella successione $ \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}_0} $ a valori interi così definita esistono infiniti termini pari e infiniti termini dispari.
Allora,
per dimostrare la tesi del problema considero $ a_n $ prima pari e poi dispari, dimostrando in entrambi i casi prima o poi la parità della successione sarà cambiata. Le variabili introdotte sono sempre da considerarsi interi positivi.
$ \displaystyle a_{n+1}=\left[a_n+\frac{a_n}{2}\right] $
Caso I $ a_n=2^j*k $ con $ \gcd(2,k)=1 $
$ a_{n+1}=2^j*k+2^{j-1}*k $
si dimostra facilmente per induzione che ad ogni iterazione la massima potenza di $ 2 $ che divide il termine della successione raggiunto diminuisce di uno. Quindi, dopo $ j $ iterazioni, si avrà un termine dispari.
Caso II $ a_n=2^j*k+1 $ con $ \gcd(2,k)=1 $
avremo che
$ a_{n+1}=2^j*k+2^{j-1}*k+1 $
si dimostra sempre per induzione che ad ogni iterazione non si fa che aggiungere al totale un numero della forma $ 2^i*k $, con $ i $ che ad ogni iterazione diminuisce di uno, quindi dopo $ j $ mosse avremo un pari.
per dimostrare la tesi del problema considero $ a_n $ prima pari e poi dispari, dimostrando in entrambi i casi prima o poi la parità della successione sarà cambiata. Le variabili introdotte sono sempre da considerarsi interi positivi.
$ \displaystyle a_{n+1}=\left[a_n+\frac{a_n}{2}\right] $
Caso I $ a_n=2^j*k $ con $ \gcd(2,k)=1 $
$ a_{n+1}=2^j*k+2^{j-1}*k $
si dimostra facilmente per induzione che ad ogni iterazione la massima potenza di $ 2 $ che divide il termine della successione raggiunto diminuisce di uno. Quindi, dopo $ j $ iterazioni, si avrà un termine dispari.
Caso II $ a_n=2^j*k+1 $ con $ \gcd(2,k)=1 $
avremo che
$ a_{n+1}=2^j*k+2^{j-1}*k+1 $
si dimostra sempre per induzione che ad ogni iterazione non si fa che aggiungere al totale un numero della forma $ 2^i*k $, con $ i $ che ad ogni iterazione diminuisce di uno, quindi dopo $ j $ mosse avremo un pari.
Ultima modifica di Boll il 21 mag 2005, 18:56, modificato 1 volta in totale.
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HumanTorch
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La successione è crescente.
Innanzitutto è impossibile che vi siano dispari finiti, poichè si susseguirebbero solo interi pari perche questo indica che a partire da un $ m $ si avrà una successione composta da infiniti termini ognuno dei quali è pari a $ 2^{infty} $, il che non è realizzabile.
Allo stesso modo, se da un $ m_1 $ in poi si avessero solo $ a_{m_i}|a_{m_i}\equiv 1 $ $ (mod 2) $, $ a_m $ sarebbe nella forma $ 2(2(2n+1)+1)+1..=2^{infty}n+\sum_{i=1}^{infty} 2^i $, il che è sempre impossibile (credo che anche un pò di combinatoria ci starebbe bene...)
Innanzitutto è impossibile che vi siano dispari finiti, poichè si susseguirebbero solo interi pari perche questo indica che a partire da un $ m $ si avrà una successione composta da infiniti termini ognuno dei quali è pari a $ 2^{infty} $, il che non è realizzabile.
Allo stesso modo, se da un $ m_1 $ in poi si avessero solo $ a_{m_i}|a_{m_i}\equiv 1 $ $ (mod 2) $, $ a_m $ sarebbe nella forma $ 2(2(2n+1)+1)+1..=2^{infty}n+\sum_{i=1}^{infty} 2^i $, il che è sempre impossibile (credo che anche un pò di combinatoria ci starebbe bene...)
Dopo "Pi greco: il teorema del delirio", ho il piacere di presentarvi...HumanTorch ha scritto:Innanzitutto è impossibile che vi siano dispari finiti, poichè si susseguirebbero solo interi pari perche questo indica che a partire da un $ m $ si avrà una successione composta da infiniti termini ognuno dei quali è pari a $ 2^{infty} $, il che non è realizzabile. Allo stesso modo, se da un $ m_1 $ in poi si avessero solo $ a_{m_i}|a_{m_i}\equiv 1 $ $ (mod 2) $, $ a_m $ sarebbe nella forma $ 2(2(2n+1)+1)+1..=2^{infty}n+\sum_{i=1}^{infty} 2^i $, il che è sempre impossibile (credo che anche un pò di combinatoria ci starebbe bene...)
Ecco, questo però è sensato... Va', che una menzione speciale te la sei comunque meritata!!!HumanTorch ha scritto:La successione è crescente.
