Diofanteina

[Boll]

Problema
Determinare tutte le soluzioni dell'equazione
$ \displaystyle \frac{1}{p}=0,\bar{q} $
dove con $ 0,\bar{q} $ si intende lo sviluppo $ 0,qqqqqqq... $ e $ p $ e $ q $ sono primi naturali

[NicolasBourbaki]

Dato che mi ritengo un novizio della teoria dei numeri mi permetto di postare la soluzione:
ammesso di operare in base dieci il secondo membro dell'uguaglianza può essere trasformato in (q/9) e da ciò si ottiene l'equazione pq=9 da risolvere nei naturali.
Segue che tutte e sole le coppie che risolvono il pb.dato sono (3,3),(1,9),(9,1),il che viene direttamente dalla fattorizzazione di 9.

Alla prossima,
Bourbaki

[NicolasBourbaki]

Chiedo venia a tutti per aver letto frettolosamente il testo:la condizione che p,q siano primi impone di scartare due delle tre coppie e ci lascia la sola coppia (3,3).

[HumanTorch]

Innanzitutto si nota che $ q $ può assumere solo $ 4 $ valori; inoltre il periodo di una sola cifra diversa da $ 0 $ e la mancanza di antiperiodo sono propri solo delle frazioni aventi al denominatore $ 3 $ e $ 9 $, di cui solo il primo è primo, e per $ p=3 $, $ q $risulta essere pari a $ 3 $, e quindi $ (3;3) $ è l'unica soluzione.

[Marco]

Non sono d'accordo con nessuno dei due. Chi ha detto che p e q hanno una sola cifra?

[HumanTorch]

Quindi q è un primo generico? Ma allora cambia tutto ... (o no?)

[HumanTorch]

Allora: sia $ F(q)=y $ l'intero formato da $ m $ cifre "$ 1 $", dove $ m $ è il numero di cifre di $ q $ nell'usuale sistema decimale.
Quindi la frazione generatrice di un numero periodico senza antiperiodo e minore di 1 è pari a $ \displaystyle\frac{q}{9y}=\frac{1}{p} $, ossia $ pq=9y $.
Essendo $ p $ e $ q $ primi, il primo prodotto risulta avere solo $ 2 $ fattori primi, mentre il secondo ne ha almeno $ 3 $, a meno che $ m=1 $.

[Sisifo]

Allora, dal testo si ha che $ \frac {1} {p} = \frac {q} {10^n -1} $ per un qualche valore di n. Perciò $ pq = 10^n -1 $, ma $ 10^n-1 $ è sempre divisibile per 9 (basta ragionare modulo 9, appunto), per cui se $ pq > 9 $ allora è divisibile per tre primi, quindi o p o q non è primo. Cioè $ pq =9 $ e questo ci riporta a quanto visto prima, per cui $ p=q=3 $.

[HiTLeuLeR]

Determinare tutte le soluzioni dell'equazione $ \displaystyle \frac{1}{p}=0.\bar{q} $, dove con $ 0.\bar{q} $ si intende lo sviluppo $ 0,qqqqqqq... $ e $ p $ e $ q $ sono primi naturali.

Qual che sia $ q\in\mathfrak{P} $: $ 0,\bar{q} = \dfrac{q}{10^n-1} $, se $ n\in\mathbb{N}_0 $ è il numero delle cifre della rappresentazione posizionale in base 10 di $ q $. Pertanto: $ \displaystyle \frac{1}{p}=0,\bar{q} $ sse $ 10^n - 1 = pq $. Siccome $ \mbox{ord}_9(10)= 1 $, si ha che $ 9 \mid pq $. E tuttavia, se $ p $ e $ q $ sono primi distinti, quest'è chiaramente impossibile. Dunque necessariamente $ p = q = 3 $. E in effetti $ \dfrac{1}{3} = 0,\bar{3} $.
Ne segue che l'unica soluzione alla diofantea proposta è appunto espressa dalla coppia $ (3,3) $.

[HiTLeuLeR]

D'oooh... A quanto pare Sisifo ci è arrivato un bel pezzo prima di me...

[Sisifo]

Almeno questo esercizio me l'hai lasciato fare

[Boll]

Ok sia alle soluzione di Sisifo che a quella di Hitleuler