Prima di un quadrato guarda un po' che ci sta

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Boll
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Prima di un quadrato guarda un po' che ci sta

Messaggio da Boll » 17 mag 2005, 19:33

Dimostrare che, per ogni $ n\in\mathbb{Z} $
$ n^2-4n+3 $ è sempre il precedente di un quadrato perfetto

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HumanTorch
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Messaggio da HumanTorch » 17 mag 2005, 19:38

$ (n-2)^2=n^2-4n+4 $, quindi $ n^2-4n+4-1=n^2-4n+3 $ antecede un quadrato perfetto.

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HumanTorch
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Messaggio da HumanTorch » 17 mag 2005, 20:30

O anche, per induzione, notiamo che, sostituendo $ 0 $ all'espressione, il tutto funziona, essendo $ 3+1=4=2^2 $. Inoltre si sa che ogni numero dispari può essere visto come la differenza fra due quadrati consecutivi.
Inserendo due valori consecutivi anche nell'espressione $ n^2-4n+3 $, si ottiene che la loro differenza è pari a $ 2n-3 $, che ovviamente è dispari.
Pertanto, valendo la tesi per $ 0 $ e per ogni $ n>0 $, ma anche per ogni $ n<0 $ (difatti, se $ n<0 $ e $ m=-n $, la formula diviene $ m^2+4m+3 $, ed essendo $ m^2-4m+4 $ un quadrato, lo sarà anche $ m^2+4m+3 $), la tesi è dimostrata.

Biagio
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Messaggio da Biagio » 19 mag 2005, 14:09

ciao Bollazzo, spero che tu non abbia postato questo problema perchè non lo sapevi risolvere...
io e Lord siamo stupiti dall'effetto dei nostri insegnamenti :shock:
rifatti postando una disuguaglianza :!:

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Boll
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Messaggio da Boll » 19 mag 2005, 18:28

Muhauhauhua, il problema me lo sono inventato, come anche la Diofanteina dell'altro post, quindi certo che lo sapevo fare ;)

Ultimamente mi sto prodigando nel postare problemi di medio-bassa difficoltà (livello Archimede-Febbraio- Cese facile) perchè secondo me negli ultimi tempi si postano troppi problemi di livello medio-alto e quindi i nuovi utenti scappano via fortissimo spaventati.

La disuguaglianza arriva, nel frattempo tu prodigati nel leggere la mia soluzione a quella del giornalino, che ti porterà via molto tempo :D:D, e, se per favore puoi, nel tradurre il tuo problema di Combinatoria, che non ci capisco niente :oops: :oops:

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Marco
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Messaggio da Marco » 20 mag 2005, 07:55

Boll ha scritto:Ultimamente mi sto prodigando nel postare problemi di medio-bassa difficoltà (livello Archimede-Febbraio- Cese facile) perchè secondo me negli ultimi tempi si postano troppi problemi di livello medio-alto e quindi i nuovi utenti scappano via fortissimo spaventati.
Bravo Boll!! Una standing ovation per questo.

Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap! Clap!

Problemi facili per chi non è già al livello preIMO/IMO sono sempre ben accetti. Continua così!

Ciao. M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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