Pell's Equation

[karl]

Dimostrare che l'equazione:
$ a^2+b^3=c^4 $
ha infinite soluzioni nel campo degli interi positivi.
Qualcuno si stara' chiedendo cosa c'entra l'equazione di Pell:c'entra ,c'entra
(almeno cosi' ho letto!)

[Azarus]

Non basta spostare il quadrato a destra e mettersi a filosofeggiare sulla differenza di quadrati quando b è dispari?

Sono proprio curioso di sapere a che serve Pell

[karl]

E' possibile che vi siano differenti vie per arrivare alla tesi:quella che ho io
si rifa' alla famosa equazione.
Comunque nulla vieta di filosofeggiare!

[Igor]

Basta porre:

$ a=28k^6 $,$ b=8k^4 $,$ c=6k^3 $, con $ K \in N $.

Infatti

$ (28k^6)^2+(8k^4)^3=784k^{12}+512k^{12}=1296k^{12}=(6k^3)^4 $.

[karl]

@Igor
la tua e' una possibile soluzione (alla fine effettivamente verifica che vi sono
infinite soluzioni)anche se non comprende tutte le terne possibili.
Per esempio una terna accettabile e':
a=1176 ,b=49,c=35
che non e' ricavabile dalle tue formule.

[HumanTorch]

Si può operare assegnando ad $ a^2:=4*(2m+1)^4 $ e scegliere $ b $ in modo che $ 3*a^2=b^3 $, ovvero in modo che, se $ 4n $ è l'esponente di $ a^4 $ relativo al fattore $ 3 $,
$ 2n\equiv 1 $ $ (mod 3) $ e che gli altri suoi esponenti $ n_i $ siano multipli di 6...

P.S.Ma l'equazione di Pell è per caso $ a^2-n*b^2=1 $?

[HumanTorch]

O, in un caso ancora più banale, assegnando ad $ a $, $ b $ e/o $ c $ il valore $ 0 $.

[Igor]

@Karl: Beh, io ho risposto al tuo problema, cioè dimostrare che quell'equazione ha
infinite soluzioni nel campo degli interi.Chiedere di trovarle tutte è totalmente
diverso .Comunque ora cerco di rispondere anche a questo punto,
anche se la faccenda è un poco più complicata.

[karl]

La mia era solo una considerazione in coda alla soluzione di Igor che effettivamenterisponde al quesito (come in realta' ho scritto).
Del resto ignoro se ci sia una formula generale ,anzi tenderei ad escludere una tale possibilita'.
In seguito posto la mia soluzione legata alla "Pell's equation".

[HiTLeuLeR]

Dimostrare che l'equazione: $ a^2+b^3=c^4 $ ha infinite soluzioni nel campo degli interi positivi.

E da quando $ (\mathbb{N}_0, +, \cdot) $ sarebbe un campo?!? E comunque, al di là di questo, si chiede forse di determinare tutte le soluzioni della diofantea?!? Diversamente non v'è dubbio che la soluzione di Igor risolve la questione, come d'altro canto tu stesso, Karl, hai già riconosciuto. Dunque?!? Mi piacerebbe capire s' fusse 'l caso e pigghiar' an core o probleima...

[HiTLeuLeR]

O, in un caso ancora più banale, assegnando ad $ a $, $ b $ e/o $ c $ il valore $ 0 $.

Anche se non spetterebbe a me farlo notare, giuro, non sapevo che lo zero fosse un intero positivo...

[HiTLeuLeR]

La mia era solo una considerazione in coda alla soluzione di Igor che effettivamenterisponde al quesito (come in realta' ho scritto). Del resto ignoro se ci sia una formula generale ,anzi tenderei ad escludere una tale possibilita'.

Pardon, m'ero distratto! Vedo che in effetti hai già risposto in modo esauriente alla mia domanda...

[karl]

Per vedere come c'entra Pell osserviamo che:
$ [1^3+2^3+..(n-1)^3]+n^3=[ \frac {n(n+1)}{2}]^2 $
oppure:
$ [ \frac {n(n-1)}{2}]^2+n^3=[ \frac {n(n+1)}{2}]^2 $
Se dunque poniamo :
$ a=\frac{n(n-1)}{2},b=n,c^2=\frac{n(n+1)}{2} $
l'equazione proposta diventa appunto:
$ a^2+b^3=c^4 $
Per ogni n>1 restano fissati a e b e dunque occorre vedere se esistono
soluzioni intere (rispetto a c) dell'equazione:$ 2c^2=n(n+1) $
Ora quest'ultima relazione puo' anche scriversi cosi':
$ (2n+1)^2-2(2c)^2=1 $ e ponendo 2n+1=x ,2c=y
si ha (*) $ x^2-2y^2=1 $ che e' un'equazione di Pell del tipo $ x^2-Dy^2=1 $ con D=2.
Come e' noto tale equazione ha infinite soluzioni intere proprio del genere (2n+1,2c)
e pertanto anche l' equazione proposta ha infinite soluzioni.
Addendum.
Puo' essere interessante vedere come si ricavano le soluzioni della (*)
a partire da una soluzione della stessa.
Introduciamo il "Pell's product" (indicato spesso col simbolo "@") cosi definito:
(x,y)@(z,t)=(xz+Dyt,xt+yz)
Orbene la soluzioni dell'equazione di Pell si possono ottenere (tutte??) come
potenze successive (calcolate ovviamente col "@") della soluzione minimale
di essa.
Per chiarire la cosa consideriamo la $ x^2-2y^2=1 $ (D=2) ed osserviamo
che la soluzione minimale in N/{0} e' ovviamente (3,2), allora ogni (??)
altra soluzione si otterra' come potenza di questa :
(3,3)^2=(3,2)@(3,2) =(9+8,6+6)= (17,12) e cosi via'.
Non chiedete a me la giustificazione di quanto ho scritto ma a HiTLeuLer :sapra'
Egli come ben...chiarirvi le idee (inclusi i punti di domanda che ho messo)!!
P.S.
Ho usato a sproposito il termine "Campo";mi sono gia procurato il cilicio
adatto:lo usero' per non meno di....30 secondi.

[HiTLeuLeR]

Non risponderò alle tue domanda, Karl, ma in compenso ti fornirò un link dal quale potrai attingere tutte le informazioni che ti servono. Sì, sentiti pure in obbligo di ringraziarmi...